当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通、交流乃至整个生活方式.$4G$网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而$5G$作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实、虚拟现实、超高清$\left(3D\right)$视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物、物与物的通信问题，从而满足移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对$5G$网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费$x\left(单位：元\right)$与购买人数$y($单位：万人）的数据如下表：

对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：

其中$v_{i}=\ln x_{i},\omega _{i}=\ln y_{i}$，且绘图发现，散点$\left(v_{i},\omega _{i}\right)\left(1\leqslant i\leqslant 6\right)$集中在一条直线附近.
$(1)$根据所给数据，求出$y$关于$x$的回归方程；
$(2)$已知流量套餐受关注度通过指标$T(x)=\dfrac{x+36}{y}$来测定，当$T(x)∈\left(\dfrac{85}{7{\rm e}},\dfrac{68}{5{\rm e}}\right)$时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套餐”的人数为$X$，求随机变量$X$的分布列和期望.
附：对于一组数据$\left(v_{1},\omega _{1}\right)$，$\left(v_{2},\omega _{2}\right)$，$\cdots $，$\left(v_{n},\omega _{n}\right)$，其回归方程$\omega =bv+a$的斜率和截距的最小二乘估计值分别为$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}\left({v}_{i}-\overline{v}\right)\cdot ({\omega }_{i}-\overline{\omega })}{\sum\limits_{i=1}^{n}\left({v}_{i}-\overline{v}\right)^{2}},\overline{a}=\overline{\omega }-\hat{b}\overline{v}$.

$(1)$ $y={\\rm e}{x}^{\\frac{1}{2}}$；
$(2)$ 答案见解析

$(1)$因为散点$\left(v_{i},\omega _{i}\right)\left(1\leqslant i\leqslant 6\right)$集中在一条直线附近，设回归方程为$\omega =bv+a$，
由$\bar{v}=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{6}{{v}_{i}}=4.1,\bar{\omega }=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{6}{{\omega }_{i}}=3.05$，
则$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{6}{({v}_{i}-\bar{v})}\cdot ({\omega }_{i}-\bar{\omega })}{\sum\limits_{i=1}^{6}{{({v}_{i}-\bar{v})}^{2}}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{6}{{v}_{i}}{\omega }_{i}-6\bar{v}\cdot \bar{\omega }}{\sum\limits_{i=1}^{6}{{v}_{i}^{2}}-6\bar{{v}}^{2}}=\dfrac{75.3-6×4.1×3.05}{101.4-6×4.1×4.1}=\dfrac{1}{2}$，
所以$a=3.05-\dfrac{1}{2}×4.1=1$，
故变量$\omega $关于$v$的回归方程为$\omega =\dfrac{1}{2}v+1$，
又因为$v_{i}=\ln x_{i},\omega _{i}=\ln y_{i}$，
所以$\ln y=\dfrac{1}{2}\ln x+1,y={\rm e}{x}^{\frac{1}{2}}$，
综上，$y$关于$x$的回归方程为$y={\rm e}{x}^{\frac{1}{2}}$；
$(2)$由$T(x)=\dfrac{x+36}{y}=\dfrac{x+36}{{\rm e}{x}^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{{\rm e}}\left({x}^{\frac{1}{2}}+\dfrac{36}{{x}^{\frac{1}{2}}}\right)∈\left(\dfrac{85}{7{\rm e}},\dfrac{68}{5{\rm e}}\right)$，
解得$\dfrac{85}{7}\lt {x}^{\frac{1}{2}}+\dfrac{36}{{x}^{\frac{1}{2}}}\lt \dfrac{68}{5}$，
而$\dfrac{85}{7}=7+\dfrac{36}{7},\dfrac{68}{5}=10+\dfrac{36}{10}$，
所以$x=58$，$68$，$78$，$88$即$C$、$D$、$E$、$F$为“主打套餐”.
则四人中使用“主打套餐”的人数$X$服从超几何分布，
又因为一共只有$6$种套餐，一家$4$口选择不同的套餐，
所以$X$的取值只能是$X=2$，$3$，$4$，
且$P\left(X=2\right)=\dfrac{{\rm C}_{2}^{2}\cdot {\rm C}_{4}^{2}}{{\rm C}_{6}^{4}}=\dfrac{2}{5},P\left(X=3\right)=\dfrac{{\rm C}_{2}^{1}\cdot {\rm C}_{4}^{3}}{{\rm C}_{6}^{4}}=\dfrac{8}{15},P\left(X=4\right)=\dfrac{{\rm C}_{2}^{0}\cdot {\rm C}_{4}^{4}}{{\rm C}_{6}^{4}}=\dfrac{1}{15}$，
$X$分布列为：

$\therefore $期望$E(X)=2×\dfrac{2}{5}+3×\dfrac{8}{15}+4×\dfrac{1}{15}=\dfrac{8}{3}$.