如图所示，两根足够长的平行金属导轨位于水平的$xOy$平面内，导轨与$x$轴平行，左端接有电阻$R$。在$x\gt 0$的一侧存在竖直向下的磁场，磁感应强度$B$随空间均匀变化，满足$B=B_{0}+kx$（$k\gt 0$且为定值）。一金属杆与导轨垂直放置，且接触良好，在外力作用下沿$x$轴正方向匀速运动。$t=0$时金属杆位于$x=0$处，不计导轨和金属杆的电阻。图$2$中关于金属杆两端的电压$U$和所受安培力$F$大小的图像正确的是$(\qquad)$

$\rm AB$．设金属杆在$\Delta t$内运动的位移为$x$，且$\Delta t\to 0$，设两导轨间的距离为$L$，则在$\Delta t$时间内金属杆与导轨、电阻构成的闭合回路中磁通量的变化量$\Delta \!\Phi=\left( {{B}_{0}}+kx \right)xL-0$

则$\Delta t$内闭合回路中产生的感应电动势$E=\dfrac{\Delta\!\Phi}{\Delta t}=\dfrac{\left( {{B}_{0}}+kx \right)xL}{\Delta t}$

设金属杆匀速运动的速度为$v$，则$v=\dfrac{x}{\Delta t}$

代入上式，可得$E=\left( {{B}_{0}}+kx \right)Lv$

不计导轨和金属杆的电阻，则金属杆两端的电压$U=E=\left( {{B}_{0}}+kx \right)Lv$

可知$U$与$x$成线性关系，是一条倾斜的直线，由$U=\left( {{B}_{0}}+kx \right)Lv$，可得$U=\left( {{B}_{0}}+kx \right)Lv=\left( {{B}_{0}}+kvt \right)Lv$

可知$U$与$t$成线性关系，是一条倾斜的直线，故$\rm A$错误，$\rm B$正确；

$\rm CD$．由闭合电路欧姆定律可得电路中感应电流$I=\dfrac{E}{{{R}_{0}}}=\dfrac{\left( {{B}_{0}}+kx \right)Lv}{{{R}_{0}}}$

金属杆所受安培力：$F=BIL$，代入数据可得$F=\dfrac{{{\left( {{B}_{0}}+kx \right)}^{2}}{{L}^{2}}v}{{{R}_{0}}}$

可知$F$与$x$不是线性关系，$F-x$图像应为曲线，由$F=\dfrac{{{\left( {{B}_{0}}+kx \right)}^{2}}{{L}^{2}}v}{{{R}_{0}}}$，可得$F=\dfrac{{{\left( {{B}_{0}}+kvt \right)}^{2}}{{L}^{2}}v}{{{R}_{0}}}$

可知$F$与$t$不是线性关系，$F-t$图像应为曲线，故$\rm CD$错误。

故选：$\rm B$。