如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，导轨上静止放置两根完全相同粗细均匀的导体棒$ab$、$cd$，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中。现给$ab$棒一个平行于导轨的初速度并开始计时，不计电磁辐射及金属导轨的电阻，导体棒$ab$、$cd$始终与导轨垂直并接触良好，下列关于棒$ab$、$cd$中产生的感应电动势$e_{ab}$、$e_{cd}$、回路中的感应电流$i$、导轨间的电压$u$与时间$t$的函数关系图像中，可能正确的是$(\qquad)$

$\rm A$．设磁感应强度为$B$，两导体棒的质量均为$m$、接入电路的长度均为$d$、电阻均为$R$，导体棒$ab$的初速度为$v_{0}$。某时刻$t$导体棒$ab$、$cd$的速度分别为$v_{1}$、$v_{2}$，回路的感应电流为$i$。由法拉第电磁感应定律有$e_{ab}=Bdv_{1}$，$e_{bc}=Bdv_{2}$

$i=\dfrac{Bd\left( v_{1}-v_{2} \right)}{2R}$

两导体棒受到的安培力大小$F=Bdi$

与棒$ab$的运动方向相反，与棒$cd$的运动方向相同，所以棒$ab$减速、棒$cd$加速，当两棒速度相同时，回路中没有感应电流，两棒做匀速直线运动，由动量守恒定律$mv_{0}=2mv_{共}$

解得最终两棒的速度为$v_{共}=\dfrac{v_{0}}{2}$

由于$v_{1}$减小、$v_{2}$增大，所以$(v_{1}-v_{2})$减小，电流$i$减小，$F=Bdi$减小，棒运动的加速度减小，即棒$ab$做初速度为$v_{0}$、加速度逐渐减小的减速运动，所以$e_{ab}$减小得越来越慢，最终$e_{ab}$趋于$\dfrac{Bdv_{0}}{2}$，故$\rm A$错误；

$\rm B$．棒$cd$做初速度为零、加速度逐渐减小的加速运动，所以$e_{cd}$由零开始增加得越来越慢，最终趋于$\dfrac{Bdv_{0}}{2}$，故$\rm B$错误；

$\rm C$．由于$(v_{1}-v_{2})$、$i$越来越小，最终$(v_{1}-v_{2})$、$i$趋为零，故$\rm C$错误。

$\rm D$．两导轨间的电压$u=e_{ab}-iR$

对两棒由动量守恒有$mv_{0}=mv_{1}+mv_{2}$

联立得$u=\dfrac{Bdv_{0}}{2}$

故$u$恒定，$\rm D$正确。

故选：$\rm D$。