写出碳$14$发生$\beta$衰变的方程：$\rm _{6}^{14}\;\rm C→$                 $+$                 ；

根据衰变过程中质量数和电荷数守恒有$\rm _{6}^{14}\;\rm C→_{7}^{14}\;\rm N+_{-1}^{0}e$；

“碳$14$测年”在考古学中被用于鉴定有机文物的年代。当生物体死亡后，碳$14$开始衰变，含量越来越少，可据其比例计算出文物年代。但此方法只能鉴定$5$万年以内的样本。

①（论述）下图为碳$14$剩余质量与原质量比例$\dfrac{m}{m_{0}}$随时间$t$变化的规律，据此解释为何“碳$14$测年”只能鉴定$5$万年以内的样品。

②（计算）“加速器质谱法”可测量样本中碳的三种同位素$(^{12}\;\rm C、^{13}\;\rm C、^{14}\;\rm C)$的比例。首先需要提取样品中的碳，转化为碳原子核，从$P$点由静止经电场加速，再经磁场偏转可分离成三束单独的离子流，分别打在底片的$N_{1}$、$N_{2}$、$N_{3}$点，其过程可简化如下图。$^{14}\;\rm C$打到的是哪个点？距离之比$N_{1}N_{2}：N_{2}N_{3}$是多少？

①见解析；②$N_{3}$；$\\dfrac{\\sqrt{13}-\\sqrt{12}}{\\sqrt{14}- \\sqrt{13}}$

①碳 $14$ 的半衰期约为 $5730$ 年，放射性随时间按指数规律衰减。生物体死亡后不再摄取新的碳 $14$，其体内碳 $14$ 不断衰变，时间越久剩余量越少。当样本年代超过数万年后，样本中碳 $14$ 的含量已极微弱，超出常规仪器的测量精度，故只能鉴定 $5$ 万年以内的样本。

②设加速电压为$U$，根据动能定理可得$qU=\dfrac{1}{2}mv^{2}$

在磁场中，粒子受到的洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，则$qvB=m\dfrac{v^{2}}{r}$

粒子打在照相底片上的位置到入射点之间的距离为$d=2r=\dfrac{2}{B}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}}$

由于$^{14}\;\rm C$的比荷较小，则$^{14}\;\rm C$打到的是$N_{3}$；

$N_{1}N_{2}、N_{2}N_{3}$的距离之比$\dfrac{N_{1}N_{2}}{N_{2}N_{3}}=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{12}}{\sqrt{14}-\sqrt{13}}$。