若从$O_{2}$点发出的粒子，飞出磁场时速度偏转了$60^\circ $角，求该粒子的速度大小$v_{1}$；

$\\dfrac{\\sqrt{3}qB_{1}R}{m}$；

粒子运动轨迹如图甲所示，设轨迹半径为$r_{1}$

由几何关系得：$r_{1} ⋅ \tan 30^\circ =R$

洛伦兹力充当向心力：$qv_{1}B_{1}=m\dfrac{v_{1}^{2}}{r_{1}}$

解得$:v_{1}=\dfrac{\sqrt{3}qB_{1}R}{m}$；

若粒子的发射速度大小$v_{2}= \dfrac{\sqrt{2}qB_{1}R}{m}$，求在磁场中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到$O_{1}O_{2}$的距离；

$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}R$；

由$qv_{2}B_{1}= m\dfrac{v_{2}^{2}}{r_{2}}$

得：$r_{2}=\sqrt{2}R$

设从$C$点进，$D$点出的粒子在磁场中运动时间最长，则$CD$为圆形磁场的直径

粒子运动轨迹如图乙所示，$∠CO_{4}D=90^\circ $，由几何关系得：$r_{2} ⋅ \sin\alpha=R$

解得：$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

由几何关系得：该粒子的入射位置到$O_{1}O_{2}$的距离$d=R \cdot \sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}R$；

调整粒子发射速度的大小为某一值时，所有粒子均从$O$点飞出圆形磁场。求从发射器最左端发射的粒子进入$x \gt 0$区域后，运动轨迹上与$x$轴距离最远点的位置坐标。

$\\left( \\dfrac{3(2n+1)\\pi B_{1}R}{5B_{2}}+\\dfrac{\\pi^{2}mE{(2n+ 1)}^{2}}{2qB_{2}^{2}},0,\\dfrac{8B_{1}R}{5B_{2}} \\right)(n= 0,1,2\\cdots\\cdots)$。

由题意得：粒子在圆形磁场中的运动半径$r_{3}=R$

由$qv_{3}B_{1}=m\dfrac{v_{3}^{2}}{r_{3}}$

得：$v_{3}=\dfrac{qB_{1}R}{m}$

发射器最左端发射的粒子运动轨迹如图丙所示，设该粒子运动到$O$点时其速度方向与$x$轴正方向夹角为$\beta$

由几何关系$r_{3}+r_{3}\sin\beta=1.8R$

得$\sin\beta=0.8$，$v_{x}=v_{3} ⋅ \cos\beta$，$v_{y}=v_{3} ⋅ \sin\beta$

由题意得：该粒子的运动可视为沿$x$轴正方向的匀加速直线运动和垂直于$x$轴平面内的匀速圆周运动的合运动$a=\dfrac{qe}{m}$，$qv_{y}B_{2}=m\dfrac{v_{y}^{2}}{r_{4}}$

解得$r_{4}=\dfrac{4B_{1}R}{5B_{2}}$

粒子轨迹上的点与$x$轴的最远距离为$2r_{4}=\dfrac{8B_{1}R}{5B_{2}}$，$T=\dfrac{2\pi r_{4}}{v_{y}}=\dfrac{2\pi m}{qB_{2}}$

则粒子从经过$O$点开始运动到距离$x$轴最远处的时间为$t=\dfrac{T}{2}+nT=(2n+1)\dfrac{\pi m}{qB_{2}}(n=0,1,2\cdots\cdots)$

由$x=v_{x}t+\dfrac{1}{2}at^{2}$

得$x=\dfrac{3(2n+1)\pi B_{1}R}{5B_{2}}+\dfrac{\pi^{2}mE{(2n+1)}^{2}}{2qB_{2}^{2}}(n=0,,2\cdots\cdots)$

即粒子运动轨迹上与$x$轴距离最远的位置坐标为$\left( \dfrac{3(2n+1)\pi B_{1}R}{5B_{2}}+\dfrac{\pi^{2}mE{(2n+1)}^{2}}{2qB_{2}^{2}},0,\dfrac{8B_{1}R}{5B_{2}} \right)(n=0,1,2\cdots\cdots)$。