如图，在竖直平面内有一圆心为$O$、半径为$R$的圆形区域，圆内有一场强大小为$E$的水平匀强电场，方向与该区域平面平行，圆的直径$MN$与水平方向夹角$\theta =45{}^\circ $。质量为$m$、电荷量为$q$的带正电微粒从$M$点以不同水平速度向右射入电场，微粒通过圆形区域的过程中，电势能增加量最大值为$\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{E}_{\text{p}}}$，动能增加量最大值为$\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{E}_{\text{k}}}$。已知速度大小为$v$的微粒恰能运动到$N$点且速度大小也为$v$，重力加速度大小为$g$。下列等式成立的是$(\quad\ \ \ \ )$

$E=\\dfrac{mg}{q}$

$R=\\dfrac{\\sqrt{2}{{v}^{2}}}{2g}$

$\\text{ }\\!\\!\\Delta\\!\\!\\text{ }{{E}_{\\text{k}}}=\\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}$

$\\text{ }\\!\\!\\Delta\\!\\!\\text{ }{{E}_{\\text{p}}}=\\dfrac{\\sqrt{2}+1}{2}m{{v}^{2}}$

$\rm A$．微粒在重力场和电场组成的等效重力场中做类斜抛运动，已知速度大小为$v$的微粒恰能运动到$N$点且速度大小也为$v$，则等效重力场方向与$MN$方向垂直且斜向左下方，则有$qE=\dfrac{mg}{\text{tan}{{45}^{\circ }}}=mg$，得$E=\dfrac{mg}{q}$，故$\rm A$正确；

$\rm B$．已知速度大小为$v$的微粒恰能运动到$N$点，根据抛体对称性，微粒在N点的速度方向竖直向下。在竖直方向微粒做自由落体运动，有$\sqrt{2}R=\dfrac{{{v}^{2}}}{2g}$，解得$R=\dfrac{\sqrt{2}{{v}^{2}}}{4g}$，故$\rm B$错误；

$\rm C$．过$O$点做$MN$的垂线与圆形区域下方交点为等效重力场的最低点，从$M$点运动到该最低点时，等效重力$m{g}'=\sqrt{{{\left( qE \right)}^{2}}+{{\left( mg \right)}^{2}}}=\sqrt{2}mg$做功最大，动能增加量最大，故$\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{E}_{\text{k}}}=\sqrt{2}mgR=\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}$，故$\rm C$正确；

$\rm D$．从$M$点运动到圆形区域最右侧时克服电场力做功最多，电势能增加量最大，故$\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{E}_{\text{p}}}=qE\cdot \left( R+\dfrac{\sqrt{2}}{2}R \right)=\dfrac{\sqrt{2}+1}{4}m{{v}^{2}}$，故$\rm D$错误。

故选$\rm AC$。