高中 | 带电粒子在等效重力场中的运动 题目答案及解析

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选修3-1

第一章 静电场

1.9 带电粒子在电场中的运动

带电粒子在等效重力场中的运动

如图所示,有一半径为$R$的圆轨道,其所在平面有水平向左的匀强电场,电场强度大小$E=\dfrac{2mg}{q}$。一质量为$m$、电荷量为$q$$q$$\lt 0$)的小球沿轨道内侧在竖直平面内运动,小球能在竖直平面内做完整的圆周运动,$A$$B$为轨道水平直径的两端,$C$是轨道最低点,小球经过$B$点时对轨道的压力为$11$$mg$,已知重力加速度大小为$g$。求:

带电小球在$B$点速度大小;

[]
[["

$3\\sqrt{gR}$

"]]

由题意得:$N=11mg$$Eq=2mg$,对$B$点受力分析可得$N-Eq=m\dfrac{v_{B}^{2}}{R}$

解得${{v}_{B}}=3\sqrt{gR}$

带电小球在$C$点时对轨道压力大小;

[]
[["

$8mg$

"]]

$C$$B$点,由动能定理得:$EqR-mgR=\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}$,可得${{v}_{C}}=\sqrt{7gR}$

小球在$C$点时,对其受力分析,由牛顿第二定律得${{N}_{2}}-mg=m\dfrac{v_{C}^{2}}{R}$,解得${{N}_{2}}=8mg$

根据牛顿第三定律可知,小球在$C$点时对轨道压力大小$8$$mg$

此过程中带电小球在圆轨道上运动的最小动能。

[]
[["

$\\left( \\dfrac{5}{2}-\\sqrt{5} \\right)mgR$

"]]

小球能在竖直面内做完整的圆周运动,在等效最高点$D$点(如图所示)时速度最小,在$D$点重力和电场力的合力方向指向圆心,此时$D$点与圆心的连线与竖直方向的夹角为$\text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }$,则有$\text{tan}\theta =\dfrac{Eq}{mg}=2$

小球从$C→$$D$由动能定理得:$-mgR\cdot \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{5}} \right)-EqR\cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}mv_{D}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}$

带电小球在圆轨道上运动的最小动能${{E}_{kD}}=\left( \dfrac{5}{2}-\sqrt{5} \right)mgR$

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