如图所示，光滑绝缘水平面上有两个垂直于水平面的有界匀强磁场，磁场宽度均为$L$，磁场间距也为$L$，Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度大小分别为$B$、$2B$。一质量为$m$、边长为$L$、电阻为$R$的正方形金属线框以某一初速度向右进入磁场Ⅰ，当$ab$边刚要离开磁场Ⅱ时线框速度恰好减为$0$，线框运动过程中$ab$边始终与磁场边界平行，下列说法正确的是$(\qquad)$

线框进入Ⅰ区域和离开Ⅰ区域的过程中速度的变化量相同

$cd$边进入Ⅰ区域时线框的速度大小为$\\dfrac{9B^{2}L^{3}}{mR}$

$cd$边离开Ⅱ区域时线框的速度大小为$\\dfrac{2B^{2}L^{3}}{mR}$

线框在穿越磁场Ⅰ、Ⅱ区域的过程中产生的焦耳热之比为$9:16$

$\rm A$．线框进入Ⅰ区域的过程中，$cd$边切割磁感线，由动量定理有$- \sum Ft'=- \dfrac{B^{2}L^{2}}{R}{\sum vt}'=mv_{1}-mv_{0}$

联立解得线框进入Ⅰ区域速度变化量为$\Delta v=- \dfrac{B^{2}L^{3}}{mR}$

同理线框离开Ⅰ区域的过程中，$ab$边切割磁感线，由动量定理有$- \sum Ft''=- \dfrac{B^{2}L^{2}}{R}{\sum vt}''=mv_{2}-mv_{1}$

联立解得线框离开Ⅰ区域速度变化量为$\Delta v=- \dfrac{B^{2}L^{3}}{mR}$，$\rm A$正确；

$\rm B$．从$cd$边刚进入Ⅰ区域到$ab$边刚要离开磁场Ⅱ过程中，由动量定理有$- \sum F_{1}t_{1}-\sum F_{2}t_{2}=- \dfrac{B^{2}L^{2}}{R}\sum vt_{1}-\dfrac{4B^{2}L^{2}}{R}\sum vt_{2}=0-mv_{0}$

代入数据解得$v_{0}=\dfrac{10B^{2}L^{3}}{mR}$，$\rm B$错误；

$\rm C$．从$cd$边刚进入Ⅰ区域到$cd$边离开Ⅱ区域过程中，由动量定理有$- \sum F_{1}t_{1}-\sum F_{2}t_{2}'=- \dfrac{B^{2}L^{2}}{R}\sum vt_{1}-\dfrac{4B^{2}L^{2}}{R}\sum vt_{2}'=mv_{3}-mv_{0}$

代入数据解得$cd$边离开Ⅱ区域时的速度大小为$v_{3}=\dfrac{4B^{2}L^{3}}{mR}$，$\rm C$错误；

$\rm D$．线框在穿越磁场Ⅰ区域的过程中，由能量守恒得$Q_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}$

线框在穿越磁场Ⅰ区域的过程中由动量定理得$- \sum Ft_{1}=- \dfrac{B^{2}L^{2}}{R}\sum vt_{1}=mv_{2}-mv_{0}$

联立解得$Q_{1}=\dfrac{18B^{4}L^{6}}{mR^{2}}$

同理线框在穿越磁场Ⅱ区域的过程中，由能量守恒得$Q_{2}=\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}-0$

联立解得$Q_{2}=\dfrac{32B^{4}L^{6}}{mR^{2}}$

联立得线框在穿越磁场Ⅰ、Ⅱ区域的过程中产生的焦耳热之比为$9:16$，$\rm D$正确。

故选：$\rm AD$。