如图所示，两条相距为$l$的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，空间内有方向竖直向下、磁感应强度大小为$B$的匀强磁场。两根质量均为$m$、电阻均为$R$的导体棒$MN$、$PQ$垂直放置于金属导轨不同位置，保持与导轨良好接触。某时刻给$MN$一个水平向右的初速度$v_{0}$，此后过程中两导体棒不发生碰撞，则从该时刻起到两导体棒达到稳定状态的过程中$(\qquad)$

通过导体棒$PQ$的电流均匀增大

导体棒$MN$做加速度减小的减速运动

导体棒$MN$上产生的焦耳热为$\\dfrac{3}{8}mv_{0}^{2}$

导体棒$MN$和导体棒$PQ$通过距离之差为$\\dfrac{m{{v}_{0}}R}{{{B}^{2}}{{l}^{2}}}$

$\rm A$．当给$MN$一个向右的初速度${{v}_{0}}$时，$MN$切割磁感线产生感应电动势，回路中有感应电流，导体棒$PQ$由于受到安培力的作用也随之切割磁感线运动产生感应电动时，根据电磁感应原理可知，电路产生的电动势$E=Bl({{v}_{{MN}}}-{{v}_{{PQ}}})$，电路中的感应电流$I=\dfrac{Bl({{v}_{{MN}}}-{{v}_{{PQ}}})}{2R}$，根据左手定则可知，$MN$受到向左的安培力而做减速运动，$PQ$受到向右的安培力而向右做加速运动，故$\Delta v={{v}_{{MN}}}-{{v}_{{PQ}}}$逐渐减小，因此$PQ$的感应电流逐渐减小，而不是均匀增加，$\rm A$错误；

$\rm B$．$MN$受到的安培力$F=BIl=\dfrac{{{B}^{2}}{{l}^{2}}({{v}_{{MN}}}-{{v}_{{PQ}}})}{2R}$，根据牛顿第二定律则有$F=ma$，解得$a=\dfrac{{{B}^{2}}{{l}^{2}}({{v}_{{MN}}}-{{v}_{{PQ}}})}{2mR}$

由于$\Delta v={{v}_{{MN}}}-{{v}_{{PQ}}}$逐渐减小，所以导体棒$MN$做加速度减小的减速运动，$\rm B$正确；

$\rm C$．两导体棒组成的系统动量守恒，则有$m{v}_{0}=2mv$，解得稳定时，两导体棒的速度为$v=\dfrac{1}{2}{{v}_{0}}$，根据能量守恒定律可知，整个过程系统产生的热量$Q=\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}-\dfrac{1}{2}\cdot 2m{{v}^{2}}=\dfrac{1}{4}mv_{0}^{2}$，由于两导体棒的电阻相等，所以导体棒$MN$上产生的热量${{Q}_{{MN}}}=\dfrac{1}{2}Q=\dfrac{1}{8}mv_{0}^{2}$，$\rm C$错误；

$\rm D$．对$MN$由动量定理可得$-B\bar{I}l\cdot \Delta t=mv-m{{v}_{0}}$，设稳定时，二者的距离之差为$\Delta x$，根据法拉第电磁感应定律则有$\bar{E}=\dfrac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\dfrac{Bl\cdot \Delta x}{\Delta t}$，根据欧姆定律可得$\bar{I}=\dfrac{{\bar{E}}}{2R}=\dfrac{Bl\cdot \Delta x}{2R\cdot \Delta t}$，其中$v=\dfrac{1}{2}{{v}_{0}}$，联立解得$\Delta x=\dfrac{m{{v}_{0}}R}{{{B}^{2}}{{l}^{2}}}$，$\rm D$正确。

故选：$\rm BD$。