如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为$d$和$2d$，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为$2B$和$B$。两导体棒$MN$、$PQ$垂直放置在导轨上，已知导体棒$MN$的电阻为$R$、长度为$d$、质量为$m$，导体棒$PQ$的电阻为$2R$、长度为$2d$，质量为$2m$。$0$时刻，用水平恒力$F$向右拉动$PQ$，此后运动了足够长时间$t$，运动过程中，两导体棒均未脱离原宽度处的导轨且与导轨保持良好接触。已知导轨足够长且电阻不计，从$0$时刻到$t$时刻的过程中，下列说法正确的是$(\qquad)$

回路中始终产生顺时针方向的电流

$PQ$加速度为$a$时，$MN$的加速度为$2a$

$t$时刻后两导体棒的速度差恒为$\\dfrac{FR}{4{{B}^{2}}{{d}^{2}}}$

通过两导体棒的电量为$\\dfrac{Ft}{6Bd}-\\dfrac{mFR}{12{{B}^{3}}{{d}^{3}}}$

$\rm A$．设导体棒$PQ$和$MN$的速度分别为${{v}_{1}}$和${{v}_{2}}$，加速度分别为${{a}_{1}}$和${{a}_{2}}$，产生的感应电动势分别为${{E}_{1}}$和${{E}_{2}}$，$0$时刻回路中的电流为零，导体棒$MN$的加速度为$0$，导体棒$PQ$有向右的加速度，此后两棒均向右加速，但${{a}_{1}}\gt {{a}_{2}}$

所以${{v}_{1}}\gt {{v}_{2}}$

又${{E}_{1}}=B\cdot 2d{{v}_{1}}=2Bd{{v}_{1}}$，${{E}_{2}}=2Bd{{v}_{2}}$

所以${{E}_{1}}\gt {{E}_{2}}$

根据左手定则可知，回路中总的感应电动势等于两棒产生的感应电动势之差，所以回路中总的感应电动势方向与导体棒$PQ$产生的感应电动势方向相同，导体棒$PQ$产生的感应电动势方向为$P\to Q$，所以回路中的电流沿顺时针方向，回路中的电流$I=\dfrac{{{E}_{1}}-{{E}_{2}}}{2R+R}=\dfrac{2Bd\left( {{v}_{1}}-{{v}_{2}} \right)}{3R}$

导体棒$PQ$和$MN$的加速度分别为${{a}_{1}}=\dfrac{F-2BId}{2m}$，${{a}_{2}}=\dfrac{2BId}{m}$

随着时间推移，${{v}_{1}}-{{v}_{2}}$越来越大，回路中的感应电流越来越大，${{a}_{1}}$减小${{a}_{2}}$增大，经过足够长的时间后，两棒的加速度相等，此后${{v}_{1}}-{{v}_{2}}$保持不变，两棒匀加速运动下去，所以从$0$时刻到$t$时刻的过程中，回路中始终产生顺时针方向的电流，故$\rm A$正确；

$\rm B$．在两棒的加速度达到相等之前，$a_{1}$减小$a_2$增大，两棒的加速度大小并不是恒定的倍数关系，故$\rm B$错误；

$\rm C$．$t$时刻后${{a}_{1}}={{a}_{2}}$

解得$I=\dfrac{F}{6Bd}$

又$I=\dfrac{2Bd\left( {{v}_{1}}-{{v}_{2}} \right)}{3R}$

解得${{v}_{1}}-{{v}_{2}}=\dfrac{FR}{4{{B}^{2}}{{d}^{2}}}$，故$\rm C$正确；

$\rm D$．通过两导体棒的电量为$q$，根据动量定理，对导体棒$PQ$和$MN$分别有$Ft-B\bar{I}\cdot 2d\cdot t=2m{{v}_{1}}-0$，$2B\cdot \bar{I}dt=m{{v}_{2}}-0$

又$\overline{I}t=q$，${{v}_{1}}-{{v}_{2}}=\dfrac{FR}{4{{B}^{2}}{{d}^{2}}}$

联立得$q=\dfrac{Ft}{6Bd}-\dfrac{mFR}{12{{B}^{3}}{{d}^{3}}}$，故$\rm D$正确。

故选：$\rm ACD$。