粒子在$MN$左侧区域中运动轨迹的半径；

$R= \\dfrac{mv_{0}}{qB}$

粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有$qv_{0}B=\dfrac{mv_{0}^{2}}{R}$

可得$R=\dfrac{mv_{0}}{qB}$

粒子第一次和第二次经过$PQ$时位置的间距；

$x= \\dfrac{\\sqrt{3}mv_{0}}{2qB}$

粒子在左侧磁场运动，设从$MN$射出时速度方向与$MN$的夹角为$\theta$，由于$O$到$MN$的距离$d=\dfrac{3mv_{0}}{2qB}$，结合$R= \dfrac{mv_{0}}{qB}$，根据几何关系可知$\theta=60^\circ $；

粒子在$MN$和$PQ$之间做匀速直线运动，所以粒子从$PQ$进入右侧磁场时与$PQ$的夹角$\theta=60^\circ $；粒子在右侧磁场做匀速圆周运动有$qv_{0}\cdot2B=\dfrac{mv_{0}^{2}}{R'}$

解得$R'=\dfrac{mv_{0}}{2qB}$

根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过$PQ$时位置的间距$x=\sqrt{3}R'=\dfrac{\sqrt{3}mv_{0}}{2qB}$

粒子的运动周期

$\\dfrac{5\\pi m}{3qB}+ \\dfrac{\\sqrt{3}m}{qB}$

由图可知粒子在左边磁场运动的时间$t_{1} =\dfrac{2}{3}T_{1}=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2\pi m}{qB}=\dfrac{4\pi m}{3qB}$

粒子在右边磁场运动的时间$t_{2}=\dfrac{1}{3}T_{2}=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{2\pi m}{2qB}=\dfrac{\pi m}{3qB}$

根据对称性可知粒子在$MN$左侧进出磁场的距离$x_{0}=\sqrt{3}R=\dfrac{\sqrt{3}mv_{0}}{qB}$

所以粒子从$MN$到$PQ$过程中运动的距离为$l=\dfrac{\sqrt{3}R-\sqrt{3}R'}{2\cos\theta}=\dfrac{\sqrt{3}mv_{0}}{2qB}$

粒子在$MN$和$PQ$之间运动的时间$t_{3}=\dfrac{2l}{v_{0}}=\dfrac{\sqrt{3}m}{qB}$

综上可知粒子完成完整运动回到$O$点的周期为$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}=\dfrac{5\pi m}{3qB}+\dfrac{\sqrt{3}m}{qB}$