求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块$A$速度大小及恒力$F$做的功；

物块$A$速度大小是$7\\;\\rm m/s$，恒力$F$做的功$70\\;\\rm J$；

对小物块进行分析，根据牛顿第二定律有$F-\mu _{1}mg=ma_{1}$

对薄木板进行分析，根据牛顿第二定律有：$\mu _{1}mg-\mu _{2}(M+m)g=Ma_{2}$

解得：$a_{1}=7\;\rm m/s^{2}$，$a_{2}=2\;\rm m/s^{2}$

物块与薄木板均向右做匀加速直线运动，当$A$到达木板右端时有$L= \dfrac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2}-\dfrac{1}{2}a_{2}t_{1}^{2}$

解得$t_{1}=1\;\rm s$

木板与轨道底端碰撞前瞬间，令物块$A$速度为$v_{1}$，薄木板的速度为$v_{2}$，则有$v_{1}=a_{1}t_{1}$，$v_{2}=a_{2}t_{1}$

解得：$v_{1}=7\;\rm m/s$，$v_{2}=2\;\rm m/s$

根据功的定义式，恒力$F$做的功为$W_{1}=F\times \dfrac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2}$

解得：$W_{1}=70\;\rm J$

若物块$A$到达圆弧轨道上端点时受到轨道的弹力大小为$\dfrac{164}{3}\;\rm N$，求圆弧轨道的半径$R_{1}$；

$0.75\\;\\rm m$；

物块$A$到圆弧轨道最高点时斜抛速度为$v_{3}$，轨道对物块的弹力为$F_{N}$。

物块$A$从轨道最低点到最高点，根据动能定理有：$-mgR_{1}(1+\sin37^\circ)= \dfrac{1}{2}mv_{3}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}$

物块$A$到达圆弧轨道最高点时，根据牛顿第二定律有$F_{N}+mg\sin37^\circ=m\dfrac{v_{3}^{2}}{R_{1}}$

解得$v_{3}=5\;\rm m/s$，$R_{1}=0.75\;\rm m$

求物块$A$从初始位置开始到距地面最大高度的过程中重力所做的功；

$-40\\;\\rm J$

设物块$A$抛出时速度$v_{3}$的水平和竖直分量分别为$v_{x}$和$v_{y}$，则有$v_{x}=v_{3}\sin37^\circ$，$v_{y}=v_{3}\cos37^\circ$

物块$A$距离地面最大高度$H=R_{1}(1+\sin37^\circ)+ \dfrac{v_{y}^{2}}{2g}$，代入数据解得：$H=2m$

则物块$A$从初始位置开始到距地面最大高度的过程中重力所做的功$W_{2}=-mgH$，代入数据解得：$W_{2}=-40\;\rm J$

若物块$A$运动到最大高度时会炸裂成物块$B$和物块$C$，其中$C$的速度为$2\;\rm m/s$，方向水平向左，为保证$C$恰好落在木板的最右端，求从物块$A$离开轨道到解除木板锁定的时间（假设解除锁定后地面和物块间的动摩擦因数变为$0$）。

$0.1\\;\\rm s$

结合上述，斜抛过程物块$A$上升时间$t_{2}$$= \dfrac{v_{y}}{g}=\dfrac{4}{10}\;\rm s=0.4\;\rm s$

该段时间物块$A$向左运动距离为$x_{1}=v_{x}t_{2}$，

$C$飞出后做平抛运动，则有$H= \dfrac{1}{2}gt_{3}^{2}$，$x_{2}=v_{C}t_{3}$

薄木板右端运动到$C$落点过程有$x_{1}+x_{2}-R_{1}\cos37^\circ=v_{2}t_{4}$

从物块$A$离开轨道到解除木板锁定的时间$\Delta t=t_{2}+t_{3}-t_{4}$

代入数据解得：$\Delta t=0.1\;\rm s$