带电粒子射入平行板的初速度；

$\\dfrac{L}{T}$

由题可知，粒子在电场中沿水平方向做匀速直线运动，故粒子进入平行板的初速度$v_{0}=\dfrac{L}{T}$

图乙中$U_{0}$的值；

$\\dfrac{3md^{2}}{2qT^{2}}$

粒子在平行板竖直方向做匀加速运动，$0 \sim \dfrac{T}{3}$粒子的加速度为$a_{1}$，根据牛顿第二定律可得$\dfrac{q \cdot 2U_{0}}{d}=ma_{1}$

解得$a_{1}=\dfrac{2qU_{0}}{md}$

方向竖直向下，此阶段沿竖直方向偏转的位移$y_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}{\left(\dfrac{T}{3}\right)}^{2}=\dfrac{qU_{0}T^{2}}{9md}$

此时粒子沿竖直方向的速度$v_{y}=a_{1} \cdot \dfrac{T}{3}=\dfrac{2qU_{0}T}{3md}$

$\dfrac{T}{3} \sim T$时间内，粒子竖直方向的加速度为$a_{2}$，根据牛顿第二定律则有$\dfrac{qU_{0}}{d}=ma_{2}$

解得$a_{2}=\dfrac{qU_{0}}{md}$

方向竖直向上，此阶段粒子在竖直方向做匀减速直线运动，偏转位移为$y_{2}=v_{1} \cdot \left(\dfrac{2T}{3}\right)-\dfrac{1}{2}a_{2}{\left(\dfrac{2}{3}T\right)}^{2}=\dfrac{2qU_{0}T^{2}}{9md}$

根据题意可得$y_{1}+y_{2}=\dfrac{d}{2}$

联立解得$U_{0}=\dfrac{3md^{2}}{2qT^{2}}$

$0 \sim \dfrac{T}{3}$时间内$t_{0}$时刻射入平行板的粒子恰好从$O'$点射出，求$t_{0}$。

$\\dfrac{T}{6}$

粒子在$t_{0}$时刻进入平行板，$t_{0} \sim \dfrac{T}{3}$粒子在竖直方向的加速度为$a_{1}=\dfrac{2qU_{0}}{md}$

竖直方向上的位移$y_{1}'=\dfrac{1}{2}a_{1}{\left(\dfrac{T}{3}-t_{0}\right)}^{2}$

此时粒子的速度$v_{1}'=\dfrac{2qU_{0}}{md} \cdot\left(\dfrac{T}{3}-t_{0}\right)$

粒子在$\dfrac{T}{3} \sim T$的时间内，其加速度$a_{2}=\dfrac{qU_{0}}{md}$

此阶段的位移$y_{2}'=v_{1}' \cdot \left(\dfrac{2T}{3}\right)-\dfrac{1}{2}a_{2}{\left(\dfrac{2}{3}T\right)}^{2}$

$T$末时刻粒子的速度$v_{2}=v_{1}'-a_{2}\left(\dfrac{2}{3}T\right)$

设经过$t$时间粒子到达$O'$，此阶段粒子的加速依然为$a_{1}=\dfrac{2qU_{0}}{md}$

此阶段竖直方向的位移$y_{3}=v_{2}t_{0}+\dfrac{1}{2}a_{1}t_{0}^{2}$

由于在竖直方向位移为零，即$y_{1}'+y_{2}'+y_{3}=0$

联立解得$t_{0}=\dfrac{T}{6}$