导体棒刚进磁场时磁感应强度的大小；

$3\\;\\rm T$

导体棒由静止开始下滑，根据牛顿第二定律$mg\sin\theta=ma_{1}$

设刚进入磁场时速度大小为$v_{1}$，根据速度位移公式有$v_{1}^{2}=2a_{1}x_{1}$

刚进入磁场时，设电动势大小为$E_{0}$，根据法拉第电磁感应定律有$E_{0}=BLv_{1}$

根据闭合电路欧姆定律有$I_{0}=\dfrac{E_{0}}{r+R}$

导体棒受力平衡$mg\sin\theta=BI_{0}L$

解得$B=3\;\rm T$

导体棒进入磁场前流过电阻的电流；

$\\dfrac{5}{3}\\ \\text{A}$

设导体棒进入磁场前运动时间为$t_{1}$，则有$t_{1}=\dfrac{v_{1}}{a_{1}}$

回路中磁感应强度的变化率$\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=\dfrac{B-0}{t_{1}}$

设回路中感应电动势大小为$E$，根据法拉第电磁感应定律有$E=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}L^{2}$

流过电阻的电流$I=\dfrac{E}{r+R}=\dfrac{5}{3}\ \text{A}$

导体棒从开始运动到出磁场的过程中回路产生的焦耳热。

$6\\;\\rm J$

导体棒进入磁场前，回路中产生的热量$Q_{1}=I^{2}(R+r)t_{1}$，$Q_{2}=I_{0}^{2}(R+r)t_{2}$

其中$t_{2}=\dfrac{L}{v_{1}}$

联立解得导体棒从开始运动到出磁场的过程中回路产生的焦耳热$Q=Q_{1}+Q_{2}=6\;\rm J$