$t=6\;\rm s$时$F$的大小，以及$t$在$0$~$6\;\rm s$内$F$的冲量大小。

$F= \\dfrac{3\\sqrt{3}mg}{2}$，$\\dfrac{9\\sqrt{3}mg}{2}$

由图$2$可知$F$随时间线性变化，根据数学知识可知$F=\dfrac{\sqrt{3}mg}{4}t$

所以当$t=6\;\rm s$时，$F=\dfrac{3\sqrt{3}mg}{2}$

$0$~$6\;\rm s$内$F$的冲量为$F$−$t$图围成的面积，即$I=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3\sqrt{3}}{2}mg \times 6=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}mg$

$t$在$0\sim 6\;\rm s$内，摩擦力$f$随时间$t$变化的关系式，并作出相应的$f−t$图像。

见解析

由于初始时刻。物块刚好能静止在细杆上，则有$mg\sin 30^\circ =\mu mg\cos 30^\circ $

即$\mu=\tan 30^{{^\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

在垂直杆方向，当$F\sin \theta=mg\cos \theta$时，$t=4\;\rm s$

则$0-4\;\rm s$，垂直杆方向$F\sin \theta+N=mg\cos \theta$

摩擦力$f=\mu N=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}mg-\dfrac{\sqrt{3}}{8}mgt \right)=\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}t \right)mg$ $(0 ≤ t ≤ 4)$

在$4-6\;\rm s$内，垂直杆方向$F\sin \theta=mg\cos \theta+N$

摩擦力$f=\mu N=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{8}mgt-\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg \right)=\left( \dfrac{1}{8}t-\dfrac{1}{2} \right)mg$ $(4 ≤ t ≤ 6)$

相应的$f$−$t$图像如图

$t=6\;\rm s$时，物块的速度大小。

$v=\\dfrac{17}{2}g$

在$0$~$6\;\rm s$内沿杆方向根据动量定理有$I_{F}\cos \theta − I_{f}+mg\sin \theta \times t=mv$

在$0$~$6\;\rm s$内摩擦力的冲量为$f$−$t$图围成的面积，则$I_{\text{f}}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}mg \times 4+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4}mg \times 2=\dfrac{5}{4}mg$

联立有$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}mg \cdot \cos 30^{^\circ}+3mg-\dfrac{5}{4}mg=mv$

可得$v=\dfrac{17}{2}g$