如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$AB//CD$，$CP\perp CD$，$CD=2AB=2$，$AP=AC=AD$．

$(1)$证明：平面$PBC\perp$平面$PCD$；

$(2)$已知$CP=\sqrt{2}BC=2$，$\overrightarrow{DQ}=\lambda \overrightarrow{DP}$，$\lambda \in [0,1]$．若平面$ABP$与平面$ACQ$夹角的余弦值为$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，求$\lambda$的值．

$(1)$证明见解析；

$(2)$$\\dfrac{1}{3}$

$(1)$证明：如图，取$PC$，$PD$的中点分别为$E$，$F$，连接$BE$，$AF$，$EF$，$CF$，

$\therefore EF//CD$，且$EF=\dfrac{1}{2}CD$，

又$AB//CD$，$CD=2AB$，

$\therefore EF//AB$，且$EF=AB$，

$\therefore $ 四边形$ABEF$为平行四边形，

$\therefore AF//BE$，

$\because AP=AD$，$PF=DF$，

$\therefore AF\perp PD$，

$\because CP\perp CD$，$PF=DF$，

$\therefore CF=DF=PF$，

又$AP=AC$，

$\therefore \triangle PAF\overset{\Large∽}{=} \triangle CAF$，

$\therefore \angle CFA=\angle PFA=90^\circ$，即$AF\perp CF$．

又$PD\cap CF=F$，$PD$，$CF\subset$平面$PCD$，

$\therefore AF\perp$平面$PCD$，

$\therefore BE\perp$平面$PCD$．

又$BE\subset$平面$PBC$，

$\therefore $ 平面$PBC\perp$平面$PCD$．

$(2)$由$(1)$知，$BE\perp$平面$PCD$，

$\because EF$，$CP\subset$平面$PCD$，

$\therefore BE\perp EF$，$BE\perp CP$，

$\therefore \angle BEC=90^\circ$．

在$\rm{Rt}\triangle BEC$中，$CE=\dfrac{1}{2}CP=1$，$BC=\sqrt{2}$，

则$BE=\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}=1$，则$AF=1$．

$\because CP\perp CD$，$EF//CD$，

$\therefore EF\perp CP$，

$\therefore CP$，$EF$，$BE$两两垂直，

以$E$为坐标原点，向量$\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{EB}$的方向分别为$x$，$y$，$z$轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则$A(0,1,1)$，$B(0,0,1)$，$P(1,0,0)$，$C(-1,0,0)$，$D(-1,2,0)$，

$\therefore \overrightarrow{BA}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{BP}=(1,0,-1)$，

$\overrightarrow{CA}=(1,1,1)$，$\overrightarrow{CD}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{DP}=(2,-2,0)$．

由$\overrightarrow{DQ}=\lambda \overrightarrow{DP}$，$\lambda \in [0,1]$，

得$\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{CD}+\lambda \overrightarrow{DP}=(0,2,0)+\lambda (2,-2,0)=(2\lambda ,2-2\lambda ,0)$．

设平面$ABP$的法向量为$\boldsymbol{m}=({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})$，则$\begin{cases}{\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BA}={y}_{1}=0}\\ {\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BP}={x}_{1}-{z}_{1}=0}\end{cases}$，

取$x_{1}=1$，则$z_{1}=1$，得平面$ABP$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(1,0,1)$，

设平面$ACQ$的法向量为$\boldsymbol{n}=({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})$，

则$\begin{cases}{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CA}={x}_{2}+{y}_{2}+{z}_{2}=0}\\ {\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CQ}=2\lambda {x}_{2}+(2-2\lambda ){y}_{2}=0}\end{cases}$，

取$x_{2}=1-\lambda$，则$y_{2}=-\lambda$，$z_{2}=2\lambda -1$，

$\therefore \boldsymbol{n}=(1-\lambda ,-\lambda ,2\lambda -1)$，

设平面$ABP$与平面$ACQ$的夹角为$\theta$，

则$\cos \theta =\vert \cos \langle \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle \vert =\dfrac{\vert \boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}\vert }{\vert \boldsymbol{m}\vert \vert \boldsymbol{n}\vert }=\dfrac{\vert 1\times (1-\lambda )+0\times (-\lambda )+1\times (2\lambda -1)\vert }{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+{1}^{2}}\times \sqrt{(1-\lambda )^{2}+(-\lambda )^{2}+(2\lambda -1)^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，

解得$\lambda =\dfrac{1}{3}$，

故$\lambda$的值为$\dfrac{1}{3}$．