在几何体中，底面$ABC$是边长为$2$的正三角形.$AE\bot $平面$ABC$，若$AE//CD//BF$，$AE=5$，$CD=4$，$BF=3$.
$(1)$求证：平面$DEF\bot $平面$AEFB$；
$(2)$是否在线段$AE$上存在一点$P$，使得二面角$P-DF-E$的大小为$\dfrac{\pi }{3}$.若存在，求出$AP$的长度，若不存在，请说明理由.

$(1)$ 证明见解析；
$(2)$ 存在，$AP=3\\sqrt{5}-4$

$(1)$证明：如图，设$M$，$N$分别为$EF$，$AB$边的中点，连接$MN$，$DM$，$CN$，
因为$AE\bot $平面$ABC,AE//CD//BF$，$AE=5$，$CD=4$，$BF=3$，
所以$MN=4=CD$，且$MN//CD$，
即四边形$CNMD$为平行四边形，可得$MD//CN$，
在底面正三角形$ABC$中，$N$为$AB$边的中点，则$CN\bot AB$，
又$AE\bot $平面$ABC$，且$CN\subset $平面$ABC$，所以$AE\bot CN$.
由于$AE\cap AB=A$，且$AE$、$AB\subset $平面$ABFE$，所以$CN\bot $平面$ABFE$.
因为$MD//CN$，$CN\bot $平面$ABFE$，则$MD\bot $平面$ABFE$，
又$MD\subset $平面$DEF$，则平面$DEF\bot $平面$AEFB$.
$(2)$如图，以点$A$为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则$E\left(0,0,5\right),D\left(0,2,4\right),F\left(\sqrt{3},1,3\right)$.
设点$P\left(0,0,t\right)$，则$\overrightarrow{DF}=\left(\sqrt{3},-1,-1\right),\overrightarrow{DE}=\left(0,-2,1\right),\overrightarrow{DP}=\left(0,-2,t-4\right)$.
设平面$PDF$的法向量为$\boldsymbol{{n}_{1}}=(x_{1},y_{1}$，$z_{1})$，平面$EDF$的法向量为$\boldsymbol{{n}_{2}}=(x_{2},y_{2}$，$z_{2})$.
所以$\left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{{n}_{1}}\cdot \overrightarrow{DF}=\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\boldsymbol{{n}_{1}}\cdot \overrightarrow{DP}=-2{y}_{1}+\left(t-4\right){z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令$z_{1}=2$，则${y}_{1}=t-4,{x}_{1}=\dfrac{t-2}{\sqrt{3}}$，所以$\boldsymbol{{n}_{1}}=\left(\dfrac{t-2}{\sqrt{3}},t-4,2\right)$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{{n}_{2}}\cdot \overrightarrow{DE}=-2{y}_{2}+{z}_{2}=0}\\{\boldsymbol{{n}_{2}}\cdot \overrightarrow{DF}=\sqrt{3}{x}_{2}-{y}_{2}-{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，令$y_{2}=1$，则${x}_{2}=\sqrt{3}$.$z_{2}=2$，所以$\boldsymbol{{n}_{2}}=\left(\sqrt{3},1,2\right)$，
由$|\cos \lt \boldsymbol{{n}_{1}},\boldsymbol{{n}_{2}}\gt |=\dfrac{|\boldsymbol{{n}_{1}}\cdot \boldsymbol{{n}_{2}}|}{|\boldsymbol{{n}_{1}}||\boldsymbol{{n}_{2}}|}=\cos\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{1}{2}$，
将$\boldsymbol{{n}_{1}},\boldsymbol{{n}_{2}}$的坐标代入计算，可得：$t=±3\sqrt{5}-4$，
由于点$P$为线段$AE$上一点，故$0\leqslant t\leqslant 5$，所以$t=3\sqrt{5}-4$，
即存在点$P$满足，此时$AP=3\sqrt{5}-4$.