如图，在三棱锥$P-ABC$中，$H$为$\triangle ABC$的内心，直线$AH$与$BC$交于$M$，$\angle PAB=\angle PAC$，$\angle PCA=\angle PCB$.
$(1)$证明：平面$PAM\bot $平面$ABC$；
$(2)$若$AB\bot BC$，$PA=AB=3$，$BC=4$，求二面角$M-PA-C$的余弦值.

(1) 证明见解析；

(2) $\\dfrac{4}{5}$

$(1)$证明：设$PN\bot $平面$ABC$，垂足为$N$，作$NE\bot AB$于$E$，$NF\bot AC$于$F$，连接$PE$，$PF$，
因为$PN\bot $平面$ABC$，$AB$，$AC\subset $平面$ABC$，所以$PN\bot AB$，$PN\bot AC$，
又$NE\bot AB$，$NE\cap PN=N$，$NE$，$PN\subset $平面$PNE$，所以$AB\bot $平面$PNE$，
又$PE\subset $平面$PNE$，所以$AB\bot PE$，
因为$NF\bot AC$，$NF\cap PN=N$，$NF$，$PN\subset $平面$PNF$，所以$AC\bot $平面$PNF$，
又$PF\subset $平面$PNF$，所以$AC\bot PF$，
在$Rt\triangle PAE$和$Rt\triangle PAF$中，因为$\angle PAB=\angle PAC$，$PA=PA$，
所以$\triangle PAE\cong \triangle PAF$，所以$AE=AF$，
在$Rt\triangle NAE$和$Rt\triangle NAF$中，$AF=AE$，$AN=AN$，
所以$\triangle NAE\cong \triangle NAF$，所以$NE=NF$，
即点$N$到$AB$，$AC$的距离相等，
同理点$N$到$BC$，$AC$的距离相等，
所以点$N$为$\triangle ABC$的内心，所以$N$，$H$两点重合，
所以$PH\bot $平面$ABC$，
又因$PH\subset $平面$PAM$，
所以平面$PAM\bot $平面$ABC$；
，
$(2)$如图，以点$B$为原点建立空间直角坐标系，
，
则$B\left(0,0,0\right)$，$C\left(4,0,0\right)$，$A\left(0,3,0\right)$，
设$\triangle ABC$内切圆的半径为$r$，则$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABH}+S_{\triangle AHC}+S_{\triangle HBC}$，
即${S_{△ABC}}=\dfrac{1}{2}×3×4=\dfrac{1}{2}r({3+4+5})$，解得$r=1$，
故$AH=\sqrt{{r^2}+A{E^2}}=\sqrt{{r^2}+{{({AB-1})}^2}}=\sqrt{5},P{H^2}=\sqrt{P{A^2}-A{H^2}}=2$，
则$H\left(1,1,0\right)$，$P\left(1,1,2\right)$，
则$\overrightarrow{HP}=({0,0,2}),\overrightarrow{HA}=({-1,2,0}),\overrightarrow{AP}=({1,-2,2}),\overrightarrow{AC}=({4,-3,0})$，
设平面$AHP$的法向量$\boldsymbol{n}=({{x_1},{y_1},{z_1}})$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{HP}=0}\\{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{HA}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2{z}_{1}=0}\\{-{x}_{1}+2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，可取$\boldsymbol{n}=({2,1,0})$，
设平面$ACP$的法向量$\boldsymbol{m}=({{x_2},{y_2},{z_2}})$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AP}=0}\\{\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-2{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\\{4{x}_{2}-3{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，可取$\boldsymbol{m}=({6,8,5})$，
则$\cos⟨{\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}}⟩=\dfrac{{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}}{{|{\boldsymbol{m}}||{\boldsymbol{n}}|}}=\dfrac{4}{5}$，
由图可得二面角$M-PA-C$为锐角，
所以二面角$M-PA-C$的余弦值为$\dfrac{4}{5}$.