从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”$) $是我国使用时间长达两千多年的货币.如图$1$，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图$2$所示，小圆直径$1$厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设$\angle OAB=\theta $，五个正方形的面积和为$S$.

$(1)$求面积$S$关于$\theta $的函数表达式，并求$\tan \theta $的范围；
$(2)$求面积$S$最小值.

答案见解析

$(1)$过点$O$分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为$E$，$F$，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点$E$，$F$分别为小正方形和大正方形边的中点，
所以小正方形的边长为$(\dfrac{1}{2}\sin\theta )×2=\sin\theta $，
大正方形的边长为$(\dfrac{1}{2}\cos\theta -\sin\theta )×2=\cos\theta -2\sin\theta $，
所以五个正方形的面积和为$S=4\sin ^{2}\theta +\left(\cos \theta -2\sin \theta \right)^{2}=8\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -4\sin \theta \cos \theta $，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以$\sin \theta\ \ \lt \cos \theta -2\sin \theta $，所以$tan\theta \lt \dfrac{1}{3}$，
所以$\theta $的取值范围为$(0$，$\theta _{0}$$)$，$\tan{\theta }_{0}=\dfrac{1}{3}$，${\theta }_{0}∈(0,\dfrac{\pi }{2})$；
$(2)S=8\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -4\sin \theta \cos \theta =\dfrac{8{\sin}^{2}\theta +co{s}^{2}\theta -4\sin\theta \cos\theta }{{\sin}^{2}\theta +{\cos}^{2}\theta }=\dfrac{8{\tan}^{2}\theta -4tan\theta +1}{{\tan}^{2}\theta +1}$，
令$t=\tan \theta $，则$S=\dfrac{8{t}^{2}-4t+1}{{t}^{2}+1}$，设$f\left(t\right)=\dfrac{8{t}^{2}-4t+1}{{t}^{2}+1}$，$t∈(0,\dfrac{1}{3})$，
令${f}{'}\left(t\right)=\dfrac{2(2{t}^{2}+7t-2)}{({t}^{2}+1)^{2}}=0$得：$t=\dfrac{-7+\sqrt{65}}{4}\lt \dfrac{1}{3}$，

所以$t=\dfrac{-7+\sqrt{65}}{4}$时，面积$S$最小值为$\dfrac{9-\sqrt{65}}{2}$，
答：面积$S$最小值为$\dfrac{9-\sqrt{65}}{2}$.