如图所示棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是长方形，底面周长为$8$，$PD=3$，且$PD$是四棱锥的高.设$AB=x$.
$(1)$当$x=3$时，求三棱锥$A-PBC$的体积；
$(2)$四棱锥外接球的表面积的最小值.

$(1)$$\\dfrac{3}{2}$;

$(2)$$17\\pi$ 

$(1)$当$x=3$时，$AB=3$，$BC=1$，
$\triangle ABC$的面积为$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}×AB×BC=\dfrac{3}{2}$，
$\therefore $三棱锥$A-PBC$的体积为：
$V_{A-PBC}=V_{P-ABC}=\dfrac{1}{3}×PD×{S}_{△ABC}=\dfrac{3}{2}$.
$(2)$将四棱锥$P-ABCD$补成长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}P$，如图，

则四棱锥$P-ABCD$外接球和长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}P$的外接球相同，
设$AB=x$，则$BC=4-x$，
$\therefore $四棱锥$P-ABCD$外接球半径：
$R=\dfrac{\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}+P{D}^{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{2{x}^{2}-8x+25}}{2}$，
当$x=2$时，$R$取得最小值为$\dfrac{\sqrt{17}}{2}$，
$\because $球$O$的表面积$S=4\pi R^{2}$，
$\therefore $四棱锥外接球的表面积的最小值$S_{\min }=4\pi \times (\dfrac{\sqrt{17}}{2})^{2}=17\pi $.