| 4.3.1 一元线性回归模型 题目答案及解析

稿件来源:高途

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选择性必修二

第四章 概率与统计

4.3 统计模型

4.3.1 一元线性回归模型

在南极,东南极冰盖被称为“沉睡的巨人”,是世界上最大的大陆冰川,包含了世界上大部分的冰.$2022$年在英国《自然》杂志发表的一篇论文指出,若《巴黎协定》的控温目标未能达成,东南极冰盖会因气候变化影响而加速融化,到$2500$年,可能导致海平面上升$2$$5$米.无独有偶,$2023$年发表于《科学》杂志的新研究中,法国图卢兹空间地球物理学和海洋学研究实验室领衔的国际团队揭示了比之前预测的更大的冰川质量损失,全球温度升高与冰川质量损失之间存在线性相关关系,有如下数据:

温度上升量$x\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)$$0.4$$0.7$$1.0$$1.2$$1.8$$2.4$
冰川消融百分比$y\left(\%\right)$$12$$24$$32$$45$$56$$77$

根据数据,绘制如图所示的散点图,则下列说法正确的是$ $ $(\qquad)$ $ $
①冰川消融百分比与温度上升量存在正相关关系;
②由表中数据用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点$\left(1.25,41\right)$
③记表中数据$y_{1}$$y_{2}$$y_{3}$$y_{4}$$y_{5}$$y_{6}$的方差为$s$,若控温措施有效,则冰川消融百分比将变为$z\%$,且$zi=0.6yi+0.005\left(i=1,2,3,4,5,6\right)$,那么$z_{1}$$z_{2}$$z_{3}$$z_{4}$$z_{5}$$z_{6}$的方差将变为${s}'=0.6s+0.005$.

["

","

","

①②

","

②③

"]
[["C"]]

由散点图可知,冰川消融百分比与温度上升量存在正相关关系,故①正确;
由表中数据得$\overline{x}=\dfrac{0.4+0.7+1.0+1.2+1.8+2.4}{6}=1.25$
$\overline{y}=\dfrac{12+24+32+45+56+77}{6}=41$.
$\therefore $由表中数据用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点$\left(1.25,41\right)$,故②正确;
$\because y_{1}$$y_{2}$$y_{3}$$y_{4}$$y_{5}$$y_{6}$的方差为$s$,且$z_{i}=0.6y_{i}+0.005$
$z_{1}$$z_{2}$$z_{3}$$z_{4}$$z_{5}$$z_{6}$的方差将变为${s}'=0.36s$,故③错误.
$\therefore $正确的是①②.
故选:$\rm C$.

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