某大学有$A$，$B$两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近$100$天选择餐厅就餐情况统计如下：

$(1)$假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.计算某天甲同学午餐去$A$餐厅用餐的情况下晚餐去$B$餐厅用餐的概率；
$(2)$某天午餐，甲和乙两名同学准备去$A$，$B$这两个餐厅中某一个就餐.设事件$M=$“甲选择$A$餐厅就餐”，事件$N=$“乙选择$A$餐厅就餐”，$P\left(M\right) \gt 0$，$P\left(N\right) \gt 0$.若$P(\overline{M}|N)=P(\overline{M}|\overline{N})$，证明：事件$M$和$N$相互独立.

$((1) $0.4;

$(2) $证明见解析

$(1)$设“某天中午甲去$A$餐厅用餐”为事件$A$，“该天中午甲去$B$餐厅用餐”为事件$B$，
由题知$ P\left(A\right)=50$，$P\left(AB\right)=20$，
$P(B|A)=\dfrac{20}{50}=0.4$，
所以某天甲同学午餐去$A$餐厅用餐的情况下晚餐去$B$餐厅用餐的概率为$0.4$；
$(2)$证明：由$P(\overline{M}|N)=P(\overline{M}|\overline{N})$可知$\dfrac{P(\overline{M}N)}{P(N)}=\dfrac{P(\overline{M}\overline{N})}{P(\overline{N})}=\dfrac{P(\overline{M})-P(\overline{M}N)}{1-P(N)}$，
所以$P(\overline{M}N)-P(\overline{M}N)P\left(N\right)=P(\overline{M})P\left(N\right)-P(\overline{M}N)P\left(N\right)$，
即$P(\overline{M}N)=P(\overline{M})P\left(N\right)$，
所以$P\left(N\right)-P\left(MN\right)=\left[1-P\left(M\right)\right]P\left(N\right)$，
得$P\left(MN\right)=P\left(M\right)P\left(N\right)$，
即$M$和$N$相互独立得证.