已知函数$f\left(x\right)=\left(x+a\right)\cdot {\rm e}^{x}$.
$(1)$当$a=1$时，求函数$f\left(x\right)$的单调区间；
$(2)$过点$O\left(0,0\right)$可作曲线$y=f\left(x\right)$的两条切线，求实数$a$的取值范围.

(1) 单调递减区间为\\((-\\infty,-2)\\)，单调递增区间为\\((-2,+\\infty )\\)；

(2) \\((0,+\\infty )\\)或\\((-\\infty,-4)\\)

$(1)$当$a=1$时，$f\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot {\rm e}^{x}$，函数定义域为$\bf R$，
可得${f}'\left(x\right)=\left(x+2\right){\rm e}^{x}$，
当$x \lt -2$时，${f}'\left(x\right) \lt 0$，$f\left(x\right)$单调递减；
当$x \gt -2$时，${f}'\left(x\right) \gt 0$，$f\left(x\right)$单调递增，
所以函数$f\left(x\right)$单调递减区间为$\left(-\infty ,-2\right)$，单调递增区间为$\left(-2,+\infty \right)$；
$(2)$因为$f\left(x\right)=\left(x+a\right)\cdot {\rm e}^{x}$，函数定义域为$\bf R$，
可得${f}'\left(x\right)=\left(x+a+1\right)\cdot {\rm e}^{x}$，
不妨设切点为$(x_{0}$，$y_{0})$，
则$k=\dfrac{(x_0+a){\rm e}^{x_0}-0}{x_0-0}=(x_0+a+1){\rm e}^{x_0}$，
要使曲线$y=f\left(x\right)$有两条切线，
此时$x_{0}^{2}+a{x}_{0}-a=0$有两非零解，
即$\Delta =a^{2}+4a \gt 0$，
解得$a \gt 0$或$a \lt -4$.
故实数$a$的取值范围为$\left(0,+\infty \right)$或$\left(-\infty ,-4\right)$.