已知函数$f\left(x\right)=x^{3}-ax^{2}$.
$(1)$当$a=3$时，求函数$f\left(x\right)$在区间$\left[0,2\right]$上的最小值；
$(2)$当$a \gt 3$时，求证：过点$P\left(1,f(1)\right)$恰有$2$条直线与曲线$y=f\left(x\right)$相切.

$(1)$$-4$；

$(2)$证明见解析

$(1)$当$a=3$时，$f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2},{f}'\left(x\right)=3x^{2}-6x=3x\left(x-2\right)$.
当$x\in \left[0,2\right]$时，${f}'\left(x\right)\leqslant 0$，
所以$f\left(x\right)$在区间$\left[0,2\right]$上单调递减.
所以$f\left(x\right)$在区间$\left[0,2\right]$上的最小值为$f(2)=-4$.
$(2)$设过点$P\left(1,f(1)\right)$的曲线$y=f\left(x\right)$的切线切点为$\left(x_{0},y_{0}\right)$，${f}'\left(x\right)=3x^{2}-2ax,f(1)=1-a$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{y_0}={x_0}^3-a{x_0}^2,}\\{{y_0}-\left(1-a\right)=\left(3{x_0}^2-2a{x_0}\right)\left({x_0}-1\right)．}\end{array}}\right.$，
所以$2{x_0}^3-\left(a+3\right){x_0}^2+2a{x_0}+1-a=0$.
令$g\left(x\right)=2x^{3}-\left(a+3\right)x^{2}+2ax+1-a$，
则${g}'\left(x\right)=6x^{2}-2\left(a+3\right)x+2a=\left(x-1\right)\left(6x-2a\right)$，
令${g}'\left(x\right)=0$得$x=1$或$x=\dfrac{a}{3}$，
因为$a \gt 3$，所以$\dfrac{a}{3}\gt 1$.

$\therefore g\left(x\right)$的极大值为$g(1)=0,g\left(x\right)$的极小值为$g\left(\dfrac{a}{3}\right)\lt g(1)=0$，
所以$g\left(x\right)$在$\left(-∞,\dfrac{a}{3}\right)$上有且只有一个零点$x=1$.
因为$g\left(a\right)=2a^{3}-\left(a+3\right)a^{2}+2a^{2}+1-a=\left(a-1\right)^{2}\left(a+1\right) \gt 0$，
所以$g\left(x\right)$在$\left(\dfrac{a}{3},+∞\right)$上有且只有一个零点.
所以$g\left(x\right)$在$R$上有且只有两个零点.
即方程$2{x_0}^3-\left(a+3\right){x_0}^2+2a{x_0}+1-a=0$有且只有两个不相等实根，
所以过点$P\left(1,f(1)\right)$恰有$2$条直线与曲线$y=f\left(x\right)$相切.