（$24-25$高二上$·$上海$·$月考）如图，四棱锥${{P}-{ABCD}}$中，底面$ABCD$为矩形，$PA=PB=AD=3,AB=4$，且平面$P A B \perp$底面$ABCD$$.$

$(1)$求该四棱锥的体积；

$(2)$求异面直线$PC$和$AB$所成角的余弦值$.$

$(1)$$4\\sqrt{5}$

$(2)$$\\dfrac{\\sqrt{2}}{3}$

$(1)$等腰$\triangle PAB$中，设边$AB$的中点为$E$，易知$PE\perp AB$，

$\because $ 平面$P A B \perp$底面$ABCD$，且$P A B \cap$底面$A B C D=A B$，

则$PE\perp $平面$ABCD$，在$\text{Rt}\triangle PAE$中，$PA=3,AE=2$，

$\therefore PE=\sqrt{5}$，

则体积$V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}\times h=\dfrac{1}{3}\times 3\times 4\times \sqrt{5}=4\sqrt{5}$$.$

$(2)$法一：

$\because AB\parallel CD$，

$\therefore \angle PCD$即为异画直线$PC$和$AB$所成的角或其补角；

由$(1)$知平面$P A B \perp$底面$ABCD$，且平面$P A B \cap$底面$A B C D=A B$

矩形$ABCD$中，$CB\perp AB$，

$\because $ 平面$P A B \perp$底面$ABCD$，且$P A B \cap$底面$A B C D=A B$，

$\therefore CB\perp $面$PAB$，又$\because PB\subset $面$PAB$，从而$CB\perp PB$，

$\text{Rt}\triangle PBC$中，$PB=BC=3$，

$\therefore PC=3\sqrt{2}$

同理可得$PD=3\sqrt{2},\triangle PCD$中，$PC=PD=3\sqrt{2},CD=4$，

由余弦定理可得$\cos\angle PCD=\dfrac{P{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}-P{{D}^{2}}}{2PC\cdot CD}$

$=\dfrac{18+16-18}{2\times 3\sqrt{2}\times 4}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，

$\therefore $ 异面直线$PC$和$AB$所成角的余弦值为$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$$.$

法二：以$AB$的中点为$E$为原点，

$EB,EP$为$x,z$轴建立空间坐标系，

则$P\left( 0,0,\sqrt{5} \right),B\left( 2,0,0 \right),A\left( -2,0,0 \right),C\left( 2,3,0 \right)$，

$\therefore \overrightarrow{AB}=\left( 4,0,0 \right),\overrightarrow{PC}=\left( 2,3,-\sqrt{5} \right)$，

$\cos\left\langle PC,AB \right\rangle =\left| \dfrac{\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AB}}{\left| \overrightarrow{PC} \right|\cdot \left| \overrightarrow{AB} \right|} \right|=\dfrac{8}{\sqrt{4+9+5}\cdot 4}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，

$\therefore $ 异面直线$PC$和$AB$所成角余弦值为$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$$.$