若前轮匀速转动时，线速度大小${{v}_{0}}=\sqrt{5gR}$

①当气嘴灯运动到最低点时，求$B$端对重物的支持力；

②通过计算判断$LED$灯是否能一直发光；

若前轮匀速转动时，线速度大小${{v}_{0}}=\\sqrt{5gR}$当气嘴灯运动到最低点时，$B$端对重物的支持力为$2mg$；通过计算判断$LED$灯恰能一直发光；

由离心运动的原理，可知$B$端应在车轮转轴外侧，更靠近气嘴，$A$端应在内侧，重物静止时，弹簧弹力${{F}_{1}}=mg=kx$

在最低点时，$B$端对重物的支持力为$F$，合力提供向心力，由牛顿第二定律得：$F+k(x+\Delta x)-mg=m\dfrac{v_{0}^{2}}{R}$

解得：$F=2mg$，方向竖直向上；

当气嘴灯运动到最高点时恰能发光，则此时的弹簧弹力为：

${{F}_{2}}=k(\Delta x+x)=4mg$

则此时的临界状态是弹簧弹力和其重力提供向心力，由牛顿第二定律得：${{F}_{2}}+mg=m\dfrac{{{v}^{2}}}{R}$

解得：$v=\sqrt{5gR}={{v}_{0}}$

则$LED$灯是恰能一直发光；

若使前轮匀速转动一周，线速度大小${{v}_{1}}=\dfrac{3\sqrt{2gR}}{2}$，求$LED$灯发光的时间。

若使前轮匀速转动一周，线速度大小${{v}_{1}}=\\dfrac{3\\sqrt{2gR}}{2}$，$LED$灯发光的时间为$\\dfrac{2\\pi \\sqrt{2}gR}{3g}$。

由${{v}_{1}}=\dfrac{3\sqrt{2gR}}{2}\gt {{v}_{0}}$，当车速较大时，车轮转速较大，重物随这轮转动需要向心力较大，弹簧弹力变大，形变量变大，触电$C$与触点$D$接触，所以$LED$一直发光，前轮匀速转动一周，$LED$灯发光的时间为：$T=\dfrac{2\pi R}{{{v}_{1}}}$

解得：$T=\dfrac{2\pi \sqrt{2}gR}{3g}$。