机器人从$A$木板左端走到$A$木板右端时，求$A$、$B$木板间的水平距离。

$A$、$B$木板间的水平距离为$1.5\\rm m$

设机器人质量为$M$，三个木板质量为$m$，根据动量守恒定律可得：

$Mv=mv_{1}$

两边同时乘以$t$，则

$Mx=mx_{1}$

且$x+x_{1}=L_{A}$

解得：$x_{1}=1.5\rm m$

机器人走到$A$木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从$A$木板右端跳到$B$木板左端，求起跳过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值。

起跳过程机器人做的功为$90\\;\\rm J$，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值为$2$

设机器人起跳的速度大小为$v$，方向与水平方向的夹角为$\theta$，从$A$木板右端跳到$B$木板左端时间为$t$，根据斜抛运动的特点可得：

$v\cos\theta\cdot t=x_{1}$

$\dfrac{v\sin\theta}{g}=\dfrac{t}{2}$

联立解得：$v^2=\dfrac{15}{2\sin \theta\cos\theta }$

机器人跳离$A$的过程，系统水平方向动量守恒，则

$Mv\cos\theta=mv_{A}$

根据能量守恒可得机器人做的功为

$W=\dfrac {1}{2}Mv^{2}+\dfrac {1}{2}mv^{2}_{A}$

联立得

$W=\dfrac {3\cos ^{2}\theta +1}{2\sin \theta \cos \theta }⋅45\;\rm J=\dfrac {4\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{2\sin \theta \cos \theta }⋅45\;\rm J=45\left ( \dfrac {1}{2}\tan \theta +\dfrac {2}{\tan \theta }\right ) ^{3}$

根据数学知识可得当$\dfrac {1}{2}\tan \theta =\dfrac {2}{\tan \theta }$时，即$\tan \theta =2$时，$v$取最小值，代入数值得此时

$W=90\;\rm J$

若机器人以做功最少的方式跳到$B$木板左端后立刻与$B$木板相对静止，随即相对$B$木板连续不停地$3$次等间距跳到$B$木板右端，此时$B$木板恰好追上$A$木板。求该时刻$A$、$C$两木板间距与$B$木板长度的关系。

该时刻$A$、$C$两木板间距与$B$木板长度的关系为$x_{AC}=\\dfrac {7}{4}L_{B}$。

根据$\tan \theta =2$可得$vcos\theta =\dfrac {\sqrt {15}}{2}\rm m/s$，根据

$Mvcos\theta =mv_{A}$

得

$v_{A}=\dfrac {3\sqrt {15}}{2}\rm m/s$

分析可知$A$木板以该速度向左匀速运动，机器人跳离$A$木板到与$B$木板相对静止的过程中，机器人与$BC$木板组成的系统在水平方向动量守恒，得

$-Mvcos\theta =(M+2\ m)v_{共}$

解得

$v_{共}=\dfrac {3\sqrt {15}}{10}\rm m/s$

该过程$A$木板向左运动的距离为

$x_{A}=v_{A}t=\dfrac {3\sqrt {15}}{2}\times \dfrac {\sqrt {15}}{5}\rm m=4.5\;\rm m$

机器人连续$3$次等间距跳到$B$木板右端，整个过程机器人和$B$木板组成的系统水平方向动量守恒，设每次起跳机器人的水平速度大小为$v_{0}$，$B$木板的速度大小为$v_{B}$，机器人每次跳跃的时间为$\Delta t$，取向右为正方向，得

$(M+m)v_{共}=Mv_{0}-mv_{B}①$

每次跳跃时机器人和$B$木板的相对位移为$\dfrac {L_{B}}{3}$，可得

$\dfrac {L_{B}}{3}=(v_{0}+v_{B})\Delta t②$

机器人到$B$木板右端时，$B$木板恰好追上$A$木板，从机器人跳到$B$左端到跳到$B$右端的过程中，

$AB$木板的位移差为

$\Delta x=x_{1}+x_{A}=6\;\rm m$

可得

$(v_{B}-v_{A})⋅3\Delta t=\Delta x③$

联立$①②③$解得

$\Delta t=\dfrac {L_{B}}{4(v_{A}+v_{共})}-\dfrac {\Delta x}{3(v_{A}+v_{共})}$

故$A$、$C$两木板间距为

$x_{AC}=(v_{A}+v_{C})⋅3\Delta t+\Delta x+L_{B}$

$v_{C}=v_{共}$

解得

$x_{AC}=\dfrac {7}{4}L_{B}$。