导体棒中电流由$M$流向$N$时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；

$1\\;\\rm m/s^{2}$，方向向右

当电流从$M$流向$N$时，由左手定则可判断安培力向右，故加速度方向向右。根据牛顿第二定律有$BIL=ma$

代入数据可得$a=1\;\rm m/s^{2}$

当开关始终接$a$，要想在最短时间内使棒向左移动$4\;\rm m$而静止，则棒的最大速度是多少；

$2\\;\\rm m/s$

开关始终接$a$时，电流$N$到$M$，经过时间$t_{1}$后电流变为$M$到$N$，再经时间$t_{2}$速度减为零，前$t_{1}$时间段内，则有$x_{1}=\dfrac{v^{2}}{2a}$

后$t_{2}$时间内，则有$x_{2}=\dfrac{v^{2}}{2a}$

根据$x_{1}+x_{2}=4\;\rm m$

联立解得，棒的最大速度$v=2\;\rm m/s$

当棒的速度为多大的时候，当开关从$a$切换到$b$的瞬间，棒的加速度大小相同；

$1\\;\\rm m/s$

设当棒的速度为$v{^\prime}$的时候，当开关从$a$切换到$b$的瞬间，棒的加速度大小相同。经分析，开关切换时电流大小不变，则安培力大小不变，加速度大小不变，即有$BLv{^\prime}=I(R+r)$

解得$v{^\prime}=1\;\rm m/s$

要想棒在最短时间内向左移动$3.5\;\rm m$而静止，则棒中产生的焦耳热是多少。

$0.225\\;\\rm J$

先接$a$一段时间$t_{1}$，电流由$N$到$M$，再接到$b$端一段时间$t_{2}$，再接到$a$端一段时间$t_{3}$，电流由$M$到$N$，最后接到$b$静止。第一段有$v=at_{1}$，$x_{1}=\dfrac{1}{2}at_{1}^{2}$，$Q_{1}=I^{2}rt_{1}$

第二段，由动量定理有$- B\overline{I}Lt_{2}=mv'-mv$

且$q=\overline{I}t_{2}=\dfrac{BLx_{2}}{R+r}$

则有$Q_{2}=\left(\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}m{v'}^{2}\right)\dfrac{r}{R+r}$

第二段末的加速度与第三段相同，则第三段，有

$\dfrac{B^{2}L^{2}v'}{R+r}=ma$，$v{^\prime}=at_{3}$，$x_{3}=\dfrac{1}{2}at_{3}^{2}$，$Q_{3}=I^{2}rt_{3}$

其中满足$x_{1}+x_{2}+x_{3}=3.5m$

解得$t_{1}=2\;\rm s$，$t_{3}=1\;\rm s$

故棒中产生的焦耳热是$Q_{总}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=0.225\;\rm J$