卫星$B$的周期；

卫星$B$的周期为$\\dfrac{3\\sqrt{3}}{8}T$

（$1$）根据开普勒第三定律可知：$\dfrac{T_{A}^{2}}{T_{B}^{2}}=\dfrac{r_{A}^{3}}{r_{B}^{3}}$，解得卫星$B$的周期${{T}_{B}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}T$；

转动过程中某时刻，卫星$A$、$B$间通讯信号恰好中断，如图所示，从该时刻起至少再经多长时间，卫星$A$、$B$之间的通讯将恢复？

从该时刻起至少再经$\\dfrac{3\\sqrt{3}}{16-6\\sqrt{3}}T$时间，卫星$A$、$B$之间的通讯将恢复。

（$2$）当卫星$A$、$B$的连线与地球表面相切时，它们之间的通讯恰好中断，如图所示，根据几何知识可得$∠AOB=90^\circ$，到下次通讯恢复，设$A$转过$\alpha$到$A^\prime$，$B$转过$\beta$到$B^\prime$，则

$\beta﹣\alpha=\pi$，则$\left( \dfrac{2\pi }{{{T}_{B}}}-\dfrac{2\pi }{{{T}_{A}}} \right)t=\pi $，解得：$t=\dfrac{3\sqrt{3}}{16-6\sqrt{3}}T$，

从该时刻起至少再经$\dfrac{3\sqrt{3}}{16-6\sqrt{3}}T$时间，卫星$A$、$B$之间的通讯将恢复。