从开始运动到两棒到达稳定状态，导体棒$a$上产生的焦耳热；

$4.8\\;\\rm J$；

导体棒$a$与导体棒$b$组成的系统满足动量守恒，则有${{m}_{1}}{{v}_{0}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})v$

解得$v=4\;\rm m/s$

根据能量守恒可得${{Q}_{总}}=\dfrac{1}{2}{{m}_{1}}v_{0}^{2}-\dfrac{1}{2}({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){{v}^{2}}$

解得${{Q}_{总}}=12\;\rm \text{J}$

则导体棒$a$上产生的焦耳热为${{Q}_{a}}=\dfrac{{{r}_{1}}}{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}{{Q}_{总}}=\dfrac{2}{5}{{Q}_{总}}$

解得${{Q}_{a}}=4.8\;\rm \text{J}$；

初始时刻$a$、$b$棒的最小距离。

$2.4\\;\\rm \\text{m}$。

对导体棒$b$应用动量定理得$B\bar{I}L\cdot \Delta t=m_{2}v$

又$q=\overline{I}\Delta t=\dfrac{\overline{E}}{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}\Delta t=\dfrac{\dfrac{\Delta \Phi }{\Delta t}}{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}\Delta t=\dfrac{\Delta \Phi }{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}=\dfrac{BLx}{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}$

联立解得$x=2.4\;\rm \text{m}$

则初始时刻$a$、$b$棒的最小距离为$2.4\;\rm \text{m}$。