高中 | 研究天体运动规律 题目答案及解析

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必修2

第六章 万有引力与航天

6.4 万有引力理论的成就

研究天体运动规律

嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。$2020$$11$$29$日,嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨为圆形环月轨道,环月轨道对应的周期为$T$,离月面高度为$h$,如图所示。已知月球半径为$R$,万有引力常量为$G$。求:

嫦娥五号在环月轨道运动的线速度大小;

[["

$\\dfrac{2\\pi(R+ h)}{T}$

"]]

由万有引力定律及向心力公式知$G\dfrac{Mm}{r^{2}}=m\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}r=m\dfrac{v^{2}}{r}$

其中$r=R+h$

解得$v=\dfrac{2\pi(R+h)}{T}$

求月球的质量$M$

[["

$\\dfrac{4\\pi^{2}{(R+ h)}^{3}}{GT^{2}}$

"]]

由万有引力定律得$G\dfrac{Mm}{r^{2}}=m\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

解得$M=\dfrac{4\pi^{2}{(R+h)}^{3}}{GT^{2}}$

求月球表面的重力加速度大小$g$

[["

$\\dfrac{4\\pi^{2}{(R+ h)}^{3}}{R^{2}T^{2}}$

"]]

根据月球表面物体重力等于万有引力可得$G\dfrac{Mm'}{R^{2}}=m'g$

所以,月球表面处的重力加速度$g=\dfrac{GM}{R^{2}}$

根据$M=\dfrac{4\pi^{2}{(R+h)}^{3}}{GT^{2}}$

可得$g=\dfrac{4\pi^{2}{(R+h)}^{3}}{R^{2}T^{2}}$

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