如图所示，倾角为$30^\circ $的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为$m$，两者之间动摩擦因数为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。电动机以恒定功率$P$拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为$v_{0}$。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为$g$，忽略其他摩擦。则这段时间内$(\qquad)$

物块的位移大小为$\\dfrac{2v_{0}^{2}}{3g}$

物块机械能增量为$\\dfrac{5mv_{0}^{2}}{2}$

小车的位移大小为$\\dfrac{16Pv_{0}}{5mg^{2}}-\\dfrac{2v_{0}^{2}}{5g}$

小车机械能增量为$\\dfrac{8Pv_{0}}{5g}+\\dfrac{mv_{0}^{2}}{2}$

$\rm A$．对物块根据牛顿第二定律有$\mu mg\cos 30^\circ − mg\sin 30^\circ =ma$

解得$a=\dfrac{1}{4}g$

根据运动学公式有$v_{0}^{2}=2ax_{1}$

解得物块的位移大小为$x_{1}=\dfrac{2v_{0}^{2}}{g}$，故$\rm A$错误；

$\rm B$．物块机械能增量为$\Delta E=\dfrac{1}{2}m{v_{0}}^{2}+mgx_{1} \cdot \sin 30{^\circ}=\dfrac{3}{2}m{v_{0}}^{2}$，故$\rm B$错误；

$\rm C$．对小车根据动能定理有$Pt-\left( \mu mg\cos 30{^\circ}+mg\sin 30{^\circ} \right)x=\dfrac{1}{2}m{v_{0}}^{2}$

其中$t=\dfrac{v_{0}}{a}$

联立解得$x=\dfrac{16Pv_{0}}{5mg^{2}}-\dfrac{2v_{0}^{2}}{5g}$，故$\rm C$正确；

$\rm D$．小车机械能增量为$\Delta E'=\dfrac{1}{2}m{v_{0}}^{2}+mgx\sin 30{^\circ}=\dfrac{8Pv_{0}}{5g}+\dfrac{3mv_{0}^{2}}{10}$，故$\rm D$错误。

故选：$\rm C$。