若滑杆固定，$v= \sqrt{gL}$，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小；

$F=4mg$；

由$B$点到最低点过程动能定理有$\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}-\dfrac{1}{2}mv^{2}= mgl$

最低点牛顿第二定律可得$F-mg=m\dfrac{v_{0}^{2}}{l}$

联立可得$F=4mg$；

若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为$37^\circ $时，机器人松开轻绳后被抛至$A$点，求$v$的大小；

$v=\\sqrt{\\dfrac{37gl}{10}}$；

轻绳运动到左上方与水平方向夹角为$37^\circ $时由能量守恒可得$\dfrac{1}{2}mv^{2}=mgl\sin 37{^\circ}+ \dfrac{1}{2}m{v'}_{2}^{2}$

水平方向$x=l\cos 37^\circ +l=v'_{2}\sin 37^\circ ⋅ t$

竖直方向取向上为正可得$y=1.2l-l\sin 37{^\circ}={v'}_{2}\cos 37{^\circ} \cdot t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$

联立可得$v=\sqrt{\dfrac{37gl}{10}}$；

若滑杆能沿轨道自由滑动，$M=km$，且$k \geqslant1$，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为$37^\circ $时，机器人松开轻绳后被抛至$A$点，求$v$与$k$的关系式及$v$的最小值。

$v=\\sqrt{\\dfrac{9kgl}{10(k+1)}+ \\dfrac{14}{5}gl}$，$v= \\sqrt{\\dfrac{13}{4}gl}$。

当机器人运动到滑杆左上方且与水平方向夹角为$37^\circ $时计为点$C$，由能量守恒可得$\dfrac{1}{2}mv^{2}=mgl\sin 37{^\circ}+ \dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}kmv_{2}^{2}$

设$v_{1}$的水平速度和竖直速度分别为$v_{x}$，$v_{y}$，则有$v_{1}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$

则水平方向动量守恒可得$mv_{x}=kmv_{2}$

水平方向满足人船模型可得$mx_{1}=kmx_{2}$

此时机器人相对滑杆做圆周运动，因此有速度关系为$\tan 37{^\circ}=\dfrac{v_{x}+v_{2}}{v_{y}}$

设此时机器人的速度与竖直方向的夹角为$\theta$，则有速度关系$\tan\theta=\dfrac{v_{x}}{v_{y}}$

水平方向$l\cos 37^\circ +l − x_{2}=v_{x} ⋅ t$

竖直方向$1.2l-l\sin 37{^\circ}=v_{y} \cdot t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$

联立可得$v^{2}=\dfrac{9kgl}{10(k+1)}+\dfrac{14}{5}gl$

即$v=\sqrt{\dfrac{9kgl}{10(k+1)}+\dfrac{14}{5}gl}$

显然当$k=1$时取得最小，此时$v=\sqrt{\dfrac{13}{4}gl}$。