小球抛出后，经过多长时间绳子被拉直？

$t = \\sqrt{\\dfrac{2l}{g}}$

由于$v_{0} = \sqrt{\dfrac{gl}{2}} \lt \sqrt{gl}$，故小球抛出后做平抛运动；

设绳子恰好拉直时绳子与水平方向的夹角为$\theta$，平抛运动的时间为$t$，则有

水平位移$x$ $=$ $l\cos\theta$ $=$ $v_{0}t$，

竖直位移$y = l - l\sin\theta = \dfrac{1}{2}gt^{2}$，

根据勾股定理$l^{2}=x^{2}+y^{2}$

解得$t = \sqrt{\dfrac{2l}{g}}$，即当小球运动到绳子刚好处于水平位置时被拉直；

设绳子被拉直瞬间，小球沿绳子方向的分速度突变为零，则小球第一次运动到$B$点的速度$v_{B}$大小为多少？

$v_{B} = 2\\sqrt{gl}$

在绳子拉直瞬间，小球沿绳子方向的速度立即消失，只余竖直方向的速度$v_{y} = gt = \sqrt{2gl}$

此后小球做圆周运动，从拉直瞬间到运动到最低点$B$，由动能定理可得$mgl = \dfrac{1}{2}mv_{B}^{2} - \dfrac{1}{2}mv_{y}^{2}$，解得$v_{B} = 2\sqrt{gl}$；

要使滑块能滑上圆弧轨道且在圆弧轨道运动时不脱离，则水平轨道$BC$段的摩擦因数$\mu $取值范围是多少？

$0\\lt\\mu\\leqslant\\dfrac{4l-5R}{2d}$或者$\\dfrac{2l-R}{d}\\leqslant\\mu\\lt\\dfrac{2l}{d}$

当小球与滑块发生弹性碰撞过程中，由小球和滑块组成的系统动量守恒、机械能守恒。设碰后小球速度为$v_{1}$，滑块速度为$v_{2}$，

有$mv_{B} = mv_{1} + mv_{2}$，$\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2} = \dfrac{1}{2}mv_{1}^{2} + \dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}$，解得$v_{2} = 2\sqrt{gl}$

要使滑块不脱离轨道$CDE$，有两种情况：

①滑块能在圆弧轨道$CDE$做完整的圆周运动，则滑块从$B$点运动到圆轨道最高点$D$的过程中，由动能定理可得$- \mu mgd - mg \cdot 2R = \dfrac{1}{2}mv_{D}^{2} - \dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}$

在$D$点时$mg\leqslant\dfrac{mv_{D}^{2}}{R}$，解得$0\lt\mu\leqslant\dfrac{4l-5R}{2d}$；

②滑块最高运动到与圆心$O^\prime$等高处及以下位置，速度恰好为零，沿轨道返回，

设滑块上升的最大高度为$h$，则有$- \mu mgd - mgh = 0 - \dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}$，$h\leqslant R$，解得$\mu\geqslant\dfrac{2l-R}{d}$

滑块能滑到圆弧轨道，则有$\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}-\mu mgd\gt0$，解得$\mu\lt\dfrac{2l}{d}$

即当水平轨道$BC$段的摩擦因数$\mu $满足$0\lt\mu\leqslant\dfrac{4l-5R}{2d}$或者$\mu\geqslant\dfrac{2l-R}{d}$时，滑块始终不脱离圆轨道。