求$A$落地前瞬间$B$和$C$的速度大小；

$3\\;\\rm m/s$，$1\\;\\rm m/s$

由静止释放$A$，假设$B$和$C$有相对运动，对$A$和$B$分析，根据牛顿第二定律得$m_{A}g − \mu _{1}m_{B}g=(m_{A}+m_{B})a_{1}$

对$C$分析，根据牛顿第二定律得$\mu _{1}m_{B}g − \mu _{2}(m_{C}+m_{B})g=m_{C}a_{2}$

解得$a_{1}=3\;\rm m/s^{2}$，$a_{2}=1\;\rm m/s^{2}$

因为$a_{1} \gt a_{2}$，假设成立；$A$向下运动高度$H$时有$H=\dfrac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2}$

解得$t_{1}=1\;\rm s$

则$A$落地前瞬间$B$和$C$的速度大小分别为$v_{1}=a_{1}t_{1}=3\;\rm m/s$,$v_{2}=a_{2}t_{1}=1\;\rm m/s$

为了使$B$不从$C$上滑落，求$C$的最小长度；

$\\dfrac{5}{3}\\text{m}$

作出$B$和$C$运动的$v − t$图像如图所示，$t_{1}=1\;\rm s$后$C$加速度不变，继续加速，$B$做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律得$a_{3}=\mu _{1}g=2\;\rm m/s^{2}$

又经过$t_{2}$时间$B$、$C$共速，根据运动学公式有$v_{1} − a_{3}t_{2}=v_{2}+a_{2}t_{2}$

解得$t_{2}=\dfrac{2}{3}\text{s}$

此时速度大小$v_{3}=\dfrac{5}{3}\text{m}/\text{s}$

设此后$BC$一起运动，二者匀减速运动的加速度大小$a_{3}=\mu _{2}g=1\;\rm m/s^{2}$

此时$BC$之间的静摩擦力小于最大静摩擦力，因此假设成立。

综上$C$长度最小值$L=\dfrac{1}{2}\left( a_{1}-a_{2} \right)t_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\left( v_{1}-v_{2} \right)t_{2}=\dfrac{5}{3}\text{m}$

若$C$的右端恰运动到桌子右边缘，求初始时$C$的右端到桌子右边缘的距离。（结果均可用分数表示）

$\\dfrac{25}{9}\\text{m}$

为使$C$右端恰运动到桌子右边缘，$C$的右端到桌子右边缘的距离为$C$全过程的位移$s=2 \cdot \dfrac{1}{2}a_{2}\left( t_{1}+t_{2} \right)^{2}=\dfrac{25}{9}\text{m}$