某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道$PQ$内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场$B$。带电荷量为$−q$、质量为$m$的离子以初速度$v_{0}$从$P$处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为$U$，磁场区域中离子的偏转半径均为$R$。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是$(\qquad)$

偏转磁场的方向垂直纸面向里

第$1$次加速后，离子的动能增加了$2qU$

第$k$次加速后。离子的速度大小变为$\\dfrac{\\sqrt{m^{2}v_{0}^{2}+kqUm}}{m}$

第$k$次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为$\\dfrac{\\sqrt{m^{2}v_{0}^{2}-2kqUm}}{qR}$

$\rm A$．直线通道$PQ$有电势差为$U$的加速电场，粒子带负电，粒子沿顺时针方向运动，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，故$\rm A$正确；

$\rm BC$．根据题意，由动能定理可知，加速一次后，带电粒子的动能增量为$qU$，由于洛伦兹力不做功，则加速$k$次后，带电粒子的动能增量为$kqU$，加速$k$次后，由动能定理有$kqU=\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$

解得$v=\sqrt{v_{0}^{2}+\dfrac{2kqU}{m}}=\dfrac{\sqrt{m^{2}v_{0}^{2}+2kqUm}}{m}$

故$\rm BC$错误；

$\rm D$．粒子在偏转磁场中运动的半径为$R$，则有$qvB=m\dfrac{v^{2}}{R}$

联立解得$B=\dfrac{mv}{qR}=\dfrac{m}{qR}\sqrt{v_{0}^{2}+\dfrac{2kqU}{m}}=\dfrac{\sqrt{m^{2}{v_{0}}^{2}+2kmqU}}{qR}$

故$\rm D$错误。

故选：$\rm A$。