第十五届全国运动会将于$2025$年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．

$(1)$初赛从$7$道题中任选$3$题作答，$3$题均答对则进入决赛．已知这$7$道题中小王能答对其中$4$道题，记小王在初赛中答对的题目个数为$X$，求$X$的分布列；

$(2)$为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖$3$次，中奖$1$次奖励$120$元，中奖$2$次一奖励$180$元，中奖$3$次奖励$360$元，若$3$次均未中奖，则只奖励$60$元．假定每次抽奖中奖的概率均为$p(0\lt p\lt 1)$，且每次是否中奖相互独立．

$(i)$记一名进入决赛的大学生恰好中奖$1$次的概率为$f(p)$，求$f(p)$的极大值；

$(ii)$该校体育系共有$18$名学生进入了决赛，若这$18$名大学生获得的总奖金的期望值不小于$2240$元，求此时$p$的取值范围．

$(1)$分布列见解析；

$(2)$(i)$\\dfrac{4}{9}$；(ii)$\\left[\\dfrac{1}{3},1\\right)$

$(1)$由题意，小王答对题目个数$X=0$，$1$，$2$，$3$，

$P(X=0)=\dfrac{{\rm C}_{3}^{3}}{{\rm C}_{7}^{3}}=\dfrac{1}{35}$，$P(X=1)=\dfrac{{\rm C}_{4}^{1}{\rm C}_{3}^{2}}{{\rm C}_{7}^{3}}=\dfrac{12}{35}$，$P(X=2)=\dfrac{{\rm C}_{4}^{2}{\rm C}_{3}^{1}}{{\rm C}_{7}^{3}}=\dfrac{18}{35}$，$P(X=3)=\dfrac{{\rm C}_{4}^{3}}{{\rm C}_{7}^{3}}=\dfrac{4}{35}$，

故$X$的分布列为：

$(2)$$(i)$由题意知$f(p)={\rm C}_{3}^{1}p{{(1-p)}^{2}}=3{{p}^{3}}-6{{p}^{2}}+3p(0\lt p\lt 1)$，

${f}'(p)=9{{p}^{2}}-12p+3=3(3p-1)(p-1)$，

令${f}'(p)\gt 0$，解得$0\lt p\lt \dfrac{1}{3}$，令${f}'(p)\lt 0$，解得$\dfrac{1}{3}\lt p\lt 1$，

故$f(p)$在$\left(0,\dfrac{1}{3}\right)$上单调递增，在$\left(\dfrac{1}{3},1\right)$上单调递减，

$\therefore $ 当$p=\dfrac{1}{3}$时，$f(p)$有极大值为$f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{9}$；

$(ii)$由题可设每名进入决赛的大学生获得奖金为随机变量$Y$，

则$Y$可能取值为$60$，$120$，$180$，$360$，

$P(Y=60)={{(1-p)}^{3}}$，$P(Y=120)={\rm C}_{3}^{1}p{{(1-p)}^{2}}$，

$P(Y=180)={\rm C}_{3}^{2}{{p}^{2}}(1-p)$，$P(Y=360)={{p}^{3}}$，

$\therefore E(Y)=60{{(1-p)}^{3}}+120{\rm C}_{3}^{1}p{{(1-p)}^{2}}+180{\rm C}_{3}^{2}{{p}^{2}}(1-p)+360{{p}^{3}}=60(2{{p}^{3}}+3P+1)$，

$\therefore 18E(Y) \geqslant 2240$即$1080(2{{p}^{3}}+3p+1) \geqslant 2240$，

整理得$2{{p}^{3}}+3p-\dfrac{29}{27} \geqslant 0$，即$\left(p-\dfrac{1}{3}\right)\left(2{{p}^{2}}+\dfrac{2}{3}p+\dfrac{29}{9}\right) \geqslant 0$，

$\because 2{{p}^{2}}+\dfrac{2}{3}p+\dfrac{29}{9}\gt 0$恒成立，

$\therefore $ 只需$p-\dfrac{1}{3} \geqslant 0$，

$\therefore p$的取值范围为$\left[\dfrac{1}{3},1\right)$．