广场舞、健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音、占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点．不少地区为此出台了相关政策，对违规行为进行处罚，某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康、绿色环保的生活方式，规范广场舞、集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》．小明的妈妈为响应号召，在家里积极锻炼，等步长沿直线前后连续移步．已知她从点$O$出发，每次向前移动$1$步的概率为$\dfrac{3}{4}$，向后移动$1$步的概率为$\dfrac{1}{4}$．

（1）求移动$4$步后回到点$O$的概率；

（2）若移动$5$步后到达点$Q$，记$O$，$Q$两点之间的步数为随机变量$X$，求$X$的分布列和数学期望．

（1）概率为$\\dfrac{27}{128}$；

（2）分布列见解析，数学期望为$\\dfrac{355}{128}$

（1）记向前移动$1$步为事件$A$，

此时$P(A)=\dfrac{3}{4}$，$P(\overline{A})=\dfrac{1}{4}$，

若移动$4$步，回到点$O$相当于$4$步中两步向前，两步向后，

则移动$4$步后回到点$O$的概率$P={\rm C}_{4}^{2}\times\left( \dfrac{3}{4}\right)^{2}\times\left( \dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{27}{128}$；

（2）若移动$5$步后到达点$Q$，

此时$X$的所有取值为$1$，$3$，$5$，

所以$P(X=1)={\rm C}_{5}^{3}\times\left( \dfrac{3}{4}\right)^{3}\times\left( \dfrac{1}{4}\right)^{2}+{\rm C}_{5}^{2}\times\left( \dfrac{3}{4}\right)^{2}\times\left( \dfrac{1}{4}\right)^{3}=\dfrac{90}{256}=\dfrac{45}{128}$，

$P(X=3)={\rm C}_{5}^{4}\times\left( \dfrac{3}{4}\right)^{4}\times\left( \dfrac{1}{4}\right)^{1}+{\rm C}_{5}^{1}\times\left( \dfrac{3}{4}\right)^{1}\times\left( \dfrac{1}{4}\right)^{4}=\dfrac{105}{256}$，

$P(X=5)={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{5}}+{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{5}}=\dfrac{61}{256}$，

则$X$的分布列为：

所以$E(X)=1\times \dfrac{90}{256}+3\times \dfrac{105}{256}+5\times \dfrac{61}{256}=\dfrac{355}{128}$．