| 7.3.3 余弦函数的性质与图像 题目答案及解析

稿件来源:高途

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必修三

第七章 三角函数

7.3 三角函数的性质与图像

7.3.3 余弦函数的性质与图像

已知函数$f(x)=\cos \left(2x-\dfrac{\pi }{3}\right)$,下列选项正确的有$(\qquad)$

["

$f(x)$的最小正周期为$\\pi$

","

$f(x)$的对称轴可以是$x=\\dfrac{5\\pi }{12}$

","

$f(x)$在区间$\\left(0,\\dfrac{5\\pi }{6}\\right)$上只有一个零点

","

函数$f(x)$在区间$\\left[\\dfrac{\\pi }{3},\\dfrac{5\\pi }{6}\\right]$的值域为$\\left[-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right]$

"]
[["AC"]]

$\rm A$.函数$f(x)$的最小正周期为$T=\dfrac{2\pi }{2}=\pi$,故$\rm A$项正确;

$\rm B$$\because f\left(\dfrac{5\pi }{12}\right)=\cos \left(\dfrac{5\pi }{6}-\dfrac{\pi }{3}\right)=\cos \dfrac{\pi }{2}=0$,不为最值,

$\therefore x=\dfrac{5\pi }{12}$不为$f(x)$的对称轴,故$\rm B$项错误;

$\rm C$.当$0\lt x\lt \dfrac{5\pi }{6}$时,$-\dfrac{\pi }{3}\lt 2x-\dfrac{\pi }{3}\lt \dfrac{4\pi }{3}$

$2x-\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}$可得$x=\dfrac{5\pi }{12}$

$\therefore $ ,函数$f(x)$在区间$\left(0,\dfrac{5\pi }{6}\right)$上只有一个零点,故$\rm C$项正确;

$\rm D$.当$\dfrac{\pi }{3}\leqslant x\leqslant \dfrac{5\pi }{6}$时,$\dfrac{\pi }{3}\leqslant 2x-\dfrac{\pi }{3}\leqslant \dfrac{4\pi }{3}$,则$-1\leqslant \cos \left(2x-\dfrac{\pi }{3}\right)\leqslant \dfrac{1}{2}$

则函数$f(x)$在区间$\left[\dfrac{\pi }{3},\dfrac{5\pi }{6}\right]$的值域为$\left[-1,\dfrac{1}{2}\right]$,故$\rm D$项错误.

故选:$\rm AC$

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