| 4.3.2 独立性检验 题目答案及解析
稿件来源：高途
| 4.3.2 独立性检验题目答案及解析如下，仅供参考！
选择性必修二
第四章 概率与统计
4.3 统计模型
4.3.2 独立性检验
现对某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了$50$人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：
| 月收入 | $\left[25,35\right)$ | $\left[35,45\right)$ | $\left[45,55\right)$ | $\left[55,65\right)$ | $\left[65,75\right)$ | $\left[75,85\right)$ |
| 频数 | $5$ | $10$ | $15$ | $10$ | $5$ | $5$ |
| 赞成人数 | $4$ | $8$ | $12$ | $5$ | $2$ | $1$ |
$(1)$根据以上统计数据完成下面的$2\times 2$列联表，并问能否有$97.5\%$的把握认为“某市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以$6500$元为分界点有关”？
| 月收入不低于$65$百元的人数 | 月收入低于$65$百元的人数 | 合计 | |
| 赞成 | |||
| 不赞成 | |||
| 合计 |
$(2)$若对月收入在$\left[55,65\right)$和$\left[65,75\right)$的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，求在选中的$4$人中有人不赞成的条件下，赞成“楼市限购令”的人数$\xi $的分布列及数学期望.
附：${K^2}=\dfrac{{n{{({ad-bc})}^2}}}{{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}}$，$n=a+b+c+d$.
| $P(K^{2}\geqslant k_{0})$ | $0.050$ | $0.025$ | $0.010$ | $0.005$ | $0.001$ |
| $k_{0}$ | $3.841$ | $5.024$ | $6.635$ | $7.879$ | $10.828$ |
（1）有$97.5\\\\%$的把握认为“某市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以$6500$元为分界点有关”$.$
（2）
$\\xi $的分布列为：
| $ \\xi $ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $ P$ | $\\dfrac{3}{44}$ | $\\dfrac{27}{88}$ | $\\dfrac{19}{44}$ | $\\dfrac{17}{88}$ |
数学期望$E\\left(\\xi \\right)=0\\times \\dfrac{3}{44}+1\\times \\dfrac{27}{88}+2\\times \\dfrac{19}{44}+3\\times \\dfrac{17}{88}=\\dfrac{7}{4}$$.$
"]]$(1)2\times 2$列联表为：
| 月收入不低于$65$百元的人数 | 月收入低于$65$百元的人数 | 合计 | |
| 赞成 | $3$ | $29$ | $32$ |
| 不赞成 | $7$ | $11$ | $18$ |
| 合计 | $10$ | $40$ | $50$ |
根据列联表可得$K^{2}$的观察值$k=\dfrac{50×(3×11-29×7)^{2}}{10×40×18×32}\approx 6.27 \gt 5.024$，
所以有$97.5\%$的把握认为“某市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以$6500$元为分界点有关”.
$(2)\xi $的所有可能取值有$0$，$1$，$2$，$3$，
则$P\left(\xi =0\right)=\dfrac{{\rm C}_{5}^{2}{\rm C}_{3}^{2}}{{\rm C}_{10}^{2}{\rm C}_{5}^{2}-{\rm C}_{5}^{2}{\rm C}_{2}^{2}}=\dfrac{30}{440}=\dfrac{3}{44}$，
$P\left(\xi =1\right)=\dfrac{{\rm C}_{5}^{1}{\rm C}_{5}^{1}{\rm C}_{3}^{2}+{\rm C}_{5}^{2}{\rm C}_{2}^{1}{\rm C}_{3}^{1}}{{\rm C}_{10}^{2}{\rm C}_{5}^{2}-{\rm C}_{5}^{2}{\rm C}_{2}^{2}}=\dfrac{135}{440}=\dfrac{27}{88}$，
$P\left(\xi =2\right)=\dfrac{{\rm C}_{5}^{2}{\rm C}_{3}^{2}+{\rm C}_{5}^{1}{\rm C}_{5}^{1}{\rm C}_{2}^{1}{\rm C}_{3}^{1}{+C}_{5}^{2}{\rm C}_{2}^{2}}{{\rm C}_{10}^{2}{\rm C}_{5}^{2}-{\rm C}_{5}^{2}{\rm C}_{2}^{2}}=\dfrac{190}{440}=\dfrac{19}{44}$，
$P\left(\xi =3\right)=\dfrac{{\rm C}_{5}^{2}{\rm C}_{2}^{1}{\rm C}_{3}^{1}+{\rm C}_{5}^{1}{\rm C}_{5}^{1}{\rm C}_{2}^{2}}{{\rm C}_{10}^{2}{\rm C}_{5}^{2}-{\rm C}_{5}^{2}{\rm C}_{2}^{2}}=\dfrac{85}{440}=\dfrac{17}{88}$，
所以$\xi $的分布列为：
| $ \xi $ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $ P$ | $\dfrac{3}{44}$ | $\dfrac{27}{88}$ | $\dfrac{19}{44}$ | $\dfrac{17}{88}$ |
数学期望$E\left(\xi \right)=0\times \dfrac{3}{44}+1\times \dfrac{27}{88}+2\times \dfrac{19}{44}+3\times \dfrac{17}{88}=\dfrac{7}{4}$.
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