| 4.3.2 独立性检验 题目答案及解析
稿件来源：高途
| 4.3.2 独立性检验题目答案及解析如下，仅供参考！
选择性必修二
第四章 概率与统计
4.3 统计模型
4.3.2 独立性检验
自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐.哈九中某研究型学习小组为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从哈尔滨市市民中随机抽取$200$名进行调查，得到部分统计数据如表：
| 手机支付 | 现金支付 | 合计 | |
| $60$岁以下 | $80$ | $20$ | $100$ |
| $60$岁以上 | $65$ | $35$ | $100$ |
| 合计 | $145$ | $55$ | $200$ |
$(1)$根据以上数据，判断是否有$95\%$的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
$(2)$现采用分层抽样的方法从$60$岁以下的样本中抽取$5$人，再从这$5$人中随机抽取$3$人，求这$3$人中至少有$1$人使用现金支付的概率是多少？
参考公式：${K}^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$.
| $P(K^{2}\geqslant k_{0})$ | $0.10$ | $0.050$ | $0.010$ | $0.001$ |
| $k_{0}$ | $2.706$ | $3.841$ | $6.635$ | $10.828$ |
$(1)$有$95\\%$的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
$(2)$$\\dfrac{3}{5}$
"]]$(1)$由表中的数据可得，${K}^{2}=\dfrac{200×(80×35-65×20)^{2}}{145×55×100×100}≈5.643 \gt 3.841$，
故有$95\%$的把握认为支付方式的选择与年龄有关.
$(2)$用分层抽样的方程从$60$岁以下的样本中抽取到使用“手机支付”$5×\dfrac{80}{80+20}=4$人，
使用“现金支付”$5×\dfrac{20}{80+20}=1$人，
再从这$5$人中随机抽取$3$人，
则这$3$人中至少有$1$人使用现金支付的概率$P=\dfrac{{\rm C}_{1}^{1}{\rm C}_{4}^{2}}{{\rm C}_{5}^{3}}=\dfrac{3}{5}$.
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