| 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 题目答案及解析

稿件来源:高途

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选择性必修一

第一章 空间向量与立体几何

1.4 空间向量的应用

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

以下四个命题表述正确的是$(\qquad)$

["

若直线$l$的斜率为$-\\sqrt{3}$,则直线$l$的倾斜角为$-\\dfrac{\\pi }{3}$

","

三棱锥$P-ABC$中,$E$$F$分别为$PB$$PC$的中点,$\\overrightarrow{PG}=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{PA}$,则平面$EFG$将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为$1:5$,即$V_{P-EFG}:V_{EFG-ABC}=1:5$

","

若直线$l$过点$P(2,-1)$且在两坐标轴上的截距之和为$0$,则直线$l$的方程为$x-y-3=0$

","

在四面体$O-ABC$中,若$OA\\perp BC$$OB\\perp AC$,则$OC\\perp AB$

"]
[["BD"]]

对于$\rm A$,若直线$l$的斜率为$-\sqrt{3}$,则直线$l$的倾斜角为$\dfrac{2\pi }{3}$,故$\rm A$错误;

对于$\rm B$,设点$A$到平面$PBC$的距离为$h$,点$G$到平面$PBC$的距离为$h'$

$\because \overrightarrow{PG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PA}$

$\therefore h'=\dfrac{2}{3}h$

$\because E$$F$分别为$PB$$PC$的中点,

$\therefore {S_{\triangle PEF}}=\dfrac{1}{4}{S_{\triangle PBC}}$

${V_{P-ABC}}={V_{A-PBC}}=\dfrac{1}{3}{S_{\triangle PBC}}h$${V_{P-GEF}}={V_{G-PEF}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}{S_{\triangle PBC}}\cdot \dfrac{2}{3}h=\dfrac{1}{6}{V_{P-ABC}}$

${V_{EFG-ABC}}={V_{P-ABC}}-{V_{P-EFG}}=\dfrac{5}{6}{V_{P-ABC}}$

$\therefore V_{P-EFG}:V_{EFG-ABC}=1:5$,故$\rm B$正确;

对于$\rm C$,当直线$l$不过原点时,设直线方程为$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{-a}=1$

则有$\dfrac{2}{a}+\dfrac{-1}{-a}=1$,解得$a=3$

$\therefore $ 直线方程为$\dfrac{x}{3}-\dfrac{y}{3}=1$,即$x-y-3=0$

当直线$l$过原点时,直线方程为$y=-\dfrac{1}{2}x$

综上,所求直线方程为$y=-\dfrac{1}{2}x$$x-y-3=0$;故$\rm C$错误.

对于$\rm D$,在四面体$O-ABC$中,$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$

$\because OA\perp BC$$OB\perp AC$

$\therefore \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=0,\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})=0$

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$

$\therefore \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$

$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC}=0$

$\therefore \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{OC}=0$

$\therefore AB\perp OC$,故$\rm D$正确.

 

故选:$\rm BD$

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