稿件来源:高途
| 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系题目答案及解析如下,仅供参考!
选择性必修一
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
以下四个命题表述正确的是$(\qquad)$.
若直线$l$的斜率为$-\\sqrt{3}$,则直线$l$的倾斜角为$-\\dfrac{\\pi }{3}$
","三棱锥$P-ABC$中,$E$,$F$分别为$PB$,$PC$的中点,$\\overrightarrow{PG}=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{PA}$,则平面$EFG$将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为$1:5$,即$V_{P-EFG}:V_{EFG-ABC}=1:5$
","若直线$l$过点$P(2,-1)$且在两坐标轴上的截距之和为$0$,则直线$l$的方程为$x-y-3=0$
","在四面体$O-ABC$中,若$OA\\perp BC$,$OB\\perp AC$,则$OC\\perp AB$
"]对于$\rm A$,若直线$l$的斜率为$-\sqrt{3}$,则直线$l$的倾斜角为$\dfrac{2\pi }{3}$,故$\rm A$错误;
对于$\rm B$,设点$A$到平面$PBC$的距离为$h$,点$G$到平面$PBC$的距离为$h'$,
$\because \overrightarrow{PG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PA}$,
$\therefore h'=\dfrac{2}{3}h$,
$\because E$,$F$分别为$PB$,$PC$的中点,
$\therefore {S_{\triangle PEF}}=\dfrac{1}{4}{S_{\triangle PBC}}$,
则${V_{P-ABC}}={V_{A-PBC}}=\dfrac{1}{3}{S_{\triangle PBC}}h$,${V_{P-GEF}}={V_{G-PEF}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}{S_{\triangle PBC}}\cdot \dfrac{2}{3}h=\dfrac{1}{6}{V_{P-ABC}}$,
则${V_{EFG-ABC}}={V_{P-ABC}}-{V_{P-EFG}}=\dfrac{5}{6}{V_{P-ABC}}$,
$\therefore V_{P-EFG}:V_{EFG-ABC}=1:5$,故$\rm B$正确;
对于$\rm C$,当直线$l$不过原点时,设直线方程为$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{-a}=1$,
则有$\dfrac{2}{a}+\dfrac{-1}{-a}=1$,解得$a=3$,
$\therefore $ 直线方程为$\dfrac{x}{3}-\dfrac{y}{3}=1$,即$x-y-3=0$,
当直线$l$过原点时,直线方程为$y=-\dfrac{1}{2}x$,
综上,所求直线方程为$y=-\dfrac{1}{2}x$或$x-y-3=0$;故$\rm C$错误.
对于$\rm D$,在四面体$O-ABC$中,$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$,
$\because OA\perp BC$,$OB\perp AC$,
$\therefore \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=0,\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})=0$,
即$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$,
$\therefore \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$,
即$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC}=0$,
$\therefore \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{OC}=0$,
$\therefore AB\perp OC$,故$\rm D$正确.
故选:$\rm BD$
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