已知函数$f\left(x\right)={\rm e}^{x}[ax^{2}-\left(3a+1\right)x+3a+2]$.
$(1)$当$a=2$时，求函数$f\left(x\right)$的极值；
$(2)$当$a \lt 1$时，讨论函数$f\left(x\right)$的单调性.

(1) 极大值为\\(f(\\dfrac{1}{2}) = 5\\sqrt{e}\\)，极小值为\\(f(1) = 3e\\)

(2) 答案见解析

$(1)$因为函数$f\left(x\right)={\rm e}^{x}[ax^{2}-\left(3a+1\right)x+3a+2]$，
当$a=2$时，$f\left(x\right)={\rm e}^{x}(2x^{2}-7x+8)$，则${f}'\left(x\right)=2{{\rm e}}^{x}(x-\dfrac{1}{2})(x-1)$，
令${f}'\left(x\right)=0$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，$x=1$，
当$x \lt \dfrac{1}{2}$时，${f}'\left(x\right) \gt 0$，则$f\left(x\right)$单调递增，
当$\dfrac{1}{2} \lt x \lt 1$时，${f}'\left(x\right) \lt 0$，则$g\left(x\right)$单调递减，
当$x \gt 1$时，${f}'\left(x\right) \gt 0$，则$g\left(x\right)$单调递增，
所以当$x=\dfrac{1}{2}$时，函数$f\left(x\right)$取得极大值$f(\dfrac{1}{2})=5\sqrt{{\rm e}}$，
当$x=1$时，函数$f\left(x\right)$取得极小值$f(1)=3e$；
$(2){f}'\left(x\right)={\rm e}^{x}(ax-1)\left(x-1\right)$，
①当$a=0$时，由${f}'\left(x\right)={\rm e}^{x}(1-x)=0$，可得$x=1$，
当$x \lt 1$时，${f}'\left(x\right) \gt 0$，当$x \gt 1$时，${f}'\left(x\right) \lt 0$，
所以$f\left(x\right)$在$\left(-\infty ,1\right)$上单调递增，在$\left(1,+\infty \right)$上单调递减；
②当$a \lt 0$时，由${f}'\left(x\right)=a{{\rm e}}^{x}(x-\dfrac{1}{a})(x-1)$，则$\dfrac{1}{a}\lt 1$，
令${f}'\left(x\right)=0$，则$x=\dfrac{1}{a}$，$x=1$，
当$x \lt \dfrac{1}{a}$或$x \gt 1$时，${f}'\left(x\right) \lt 0$，当$\dfrac{1}{a} \lt x \lt 1$时，${f}'\left(x\right) \gt 0$，
所以$f\left(x\right)$在$(-\infty $，$\dfrac{1}{a}$）和$\left(1,+\infty \right)$上单调递减，在（$\dfrac{1}{a}$，$1)$上单调递增；
③当$0 \lt a \lt 1$时，由${f}'\left(x\right)=a{{\rm e}}^{x}(x-\dfrac{1}{a})(x-1)$，则$\dfrac{1}{a}\gt 1$，
令${f}'\left(x\right)=0$，则$x=\dfrac{1}{a}$，$x=1$，
当$x \lt 1$或$x \gt \dfrac{1}{a}$时，${f}'\left(x\right) \gt 0$，当$1 \lt x \lt \dfrac{1}{a}$时，${f}'\left(x\right) \lt 0$，
所以$f\left(x\right)$在$\left(-\infty ,1\right)$和（$\dfrac{1}{a}$，$+\infty )$上单调递增，在$(1$，$\dfrac{1}{a})$上单调递减.
综上所述，当$a \lt 0$时，$f\left(x\right)$在$(-\infty $，$\dfrac{1}{a}$）和$\left(1,+\infty \right)$上单调递减，在（$\dfrac{1}{a}$，$1)$上单调递增；
当$a=0$时，$f\left(x\right)$在$\left(-\infty ,1\right)$上单调递增，在$\left(1,+\infty \right)$上单调递减；
当$0 \lt a \lt 1$时，$f\left(x\right)$在$\left(-\infty ,1\right)$和（$\dfrac{1}{a}$，$+\infty )$上单调递增，在$(1$，$\dfrac{1}{a})$上单调递减.