已知函数$f(x)=\dfrac{a}{x}+lnx$，$a\in R$.
$(1)$若$f\left(x\right)$在点$\left(1,f(1)\right)$处取得极值.
①求$a$的值；
②证明：$f\left(x\right)\geqslant 1$；
$(2)$求$f\left(x\right)$的单调区间.

$(1) $①$ 1$

②证明见解析

$(2)$答案见解析

$f(x)=\dfrac{a}{x}+\ln x(x\gt0)$，${f}'(x)=-\dfrac{a}{x^2}+\dfrac{1}{x}$，
$(1)$①$\because f\left(x\right)$在点$\left(1,f(1)\right)$处取得极值.
$\therefore {f}'(1)=0\Rightarrow -a+1=0\Rightarrow a=1$.
②证明：$\because $当$a=1$时，$f′(x)=\dfrac{x-1}{{x}^{2}} \gt 0\Rightarrow x \gt 1$，
$\therefore f\left(x\right)$在$\left(0,1\right)$上单调递减，在$\left(1,+\infty \right)$上单调递增，
$\therefore f\left(x\right)\geqslant f(1)=1$.
$(2)\because {f}'(x)=-\dfrac{a}{x^2}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-a}{x^2}(x\gt 0)$，
$\therefore $当$a\leqslant 0$时，${f}'\left(x\right) \gt 0$在$\left(0,+\infty \right)$上恒成立，
当$a \gt 0$时，令${f}'\left(x\right) \gt 0\Rightarrow x \gt a$，${f}'\left(x\right) \lt 0\Rightarrow 0 \lt x \lt a$，
$\therefore $当$a\leqslant 0$时，函数$y=f\left(x\right)$在$\left(0,+\infty \right)$上单调递增；
当$a \gt 0$时，函数$y=f\left(x\right)$在$\left(a,+\infty \right)$上单调递增，在$\left(0,a\right)$上单调递减.