已知函数$f\left(x\right)=xe^{x}-ax\left(a\in \bf R\right)$.
$(1)$当$a=1$时，求在点$\left(0,f(0)\right)$处的切线方程；
$(2)$若$y=f\left(x\right)$在$R$上是增函数，求实数$a$的取值范围；
$(3)$判断当$a\geqslant 0$时，是否存在三个实数$x_{1} \lt x_{2} \lt x_{3}$，满足$f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})$，并说明理由.

$(1) y = 0$;

$(2) ({-∞,-\\dfrac{1}{{\\rm e}^2}}]$

$(3)$ 不存在三个实数$x_{1} \\lt x_{2} \\lt x_{3}$，满足$f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})$，理由见解析

$(1)$当$a=1$时，$f\left(x\right)=xe^{x}-x$，定义域为$\bf R$，
所以${f}'\left(x\right)=\left(x+1\right){\rm e}^{x}-1$，所以${f}'(0)=0$，
又$f(0)=0$，所以在点$\left(0,f(0)\right)$处的切线方程为$y=0$.
$(2)$因为$f\left(x\right)=xe^{x}-ax$，所以${f}'\left(x\right)=\left(x+1\right){\rm e}^{x}-a$，
若$y=f\left(x\right)$在$R$上是增函数，则${f}'\left(x\right)\geqslant 0$恒成立，
设$g\left(x\right)={f}'\left(x\right)=\left(x+1\right){\rm e}^{x}-a$，则原问题等价于$g\left(x\right)\geqslant 0$恒成立，
而${g}'\left(x\right)=\left(x+2\right){\rm e}^{x}$，
令${g}'\left(x\right)=0$，则$x=-2$，
当$x\in \left(-\infty ,-2\right)$时，${g}'\left(x\right) \lt 0$，即$g\left(x\right)$在$\left(-\infty ,-2\right)$上单调递减；
当$x\in \left(-2,+\infty \right)$时，${g}'\left(x\right) \gt 0$，即$g\left(x\right)$在$\left(-2,+\infty \right)$上单调递增，
所以$g{(x)_{min}}=g({-2})=-\dfrac{1}{{{{\rm e}^2}}}-a\geqslant 0$，解得$a≤-\dfrac{1}{{{{\rm e}^2}}}$，
故实数$a$的取值范围是$({-∞,-\dfrac{1}{{{{\rm e}^2}}}}]$.
$(3)$由$(2)$知，$g\left(x\right)$在区间$\left(-2,+\infty \right)$上单调递增，
当$a\geqslant 0$时，因为$g\left(-2\right)=-\dfrac{1}{{{\rm e}}^{2}}-a \lt 0$，$g\left(a\right)=\left(a+1\right){\rm e}^{a}-a \gt \left(a+1\right)-a=1 \gt 0$，
所以存在唯一的$x_{0}\in \left(-2,a\right)$，使得$g(x_{0})=0$，
所以当$-2 \lt x \lt x_{0}$时，$g\left(x\right) \lt 0$，即${f}'\left(x\right) \lt 0$；当$x \gt x_{0}$时，$g\left(x\right) \gt 0$，即${f}'\left(x\right) \gt 0$，
而当$x\leqslant -2$时，$g\left(x\right)=\left(x+1\right){\rm e}^{x}-a \lt -a\leqslant 0$，即${f}'\left(x\right)\leqslant 0$，
所以$f\left(x\right)$在$(-\infty $，$x_{0})$上单调递减，在$(x_{0}$，$+\infty )$上单调递增，
故至多存在两个实数$x_{1} \lt x_{2}$，满足$f(x_{1})=f(x_{2})$，
即不存在三个实数$x_{1} \lt x_{2} \lt x_{3}$，满足$f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})$.