若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$，侧面积为$S$，则$(\qquad)$．

$S^{2}=S_{1}S_{2}$

$S=S_{1}+S_{2}$

$\\sqrt{S}=\\sqrt{{S}_{1}}+\\sqrt{{S}_{2}}$

$S=2\\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}$

根据题意，设小球半径为$R$，

$\because $ 一个小球与一个四棱台的每个面都相切，

$\therefore $ 四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，

这$6$个小棱锥的高都是球的半径$R$，

同时，该棱台的高是$2R$，

则该四棱台的体积为$V=\dfrac{1}{3}R{S}_{1}+\dfrac{1}{3}R{S}_{2}+\dfrac{1}{3}RS=\dfrac{1}{3}({S}_{1}+{S}_{2}+\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}})\cdot 2R$，

变形可得：$S={S}_{1}+{S}_{2}+2\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}={(\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{2}})}^{2}$，即$\sqrt{S}=\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{2}}$．

故选：$\rm C$