幸福农场生产的某批次$20$件产品中含有$n\left(3\leqslant n\leqslant 13\right)$件次品，从中一次任取$10$件，其中次品恰有$X$件.
$(1)$若$n=3$，求取出的产品中次品不超过$1$件的概率；
$(2)$记$f\left(n\right)=P\left(X=3\right)$，则当$n$为何值时，$f\left(n\right)$取得最大值.

$(1)$ $\\dfrac{1}{2}$
$(2)$ $n=6$

$(1)$记“取出的产品中次品不超过$1$件”为事件$A$，
则$P\left(A\right)=P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)$，
$=\dfrac{{\rm {C}}_{3}^{0}\cdot {\rm {C}}_{17}^{10}}{{\rm {C}}_{20}^{10}}+C\dfrac{{\rm {C}}_{3}^{1}\cdot {\rm {C}}_{17}^{9}}{{\rm {C}}_{20}^{10}}$，
$=\dfrac{\dfrac{17!}{10!\cdot 7!}}{\dfrac{20!}{10!\cdot 10!}}+\dfrac{3\cdot \dfrac{17!}{9!\cdot 8!}}{\dfrac{20!}{10!\cdot 10!}}$，
$=\dfrac{2}{19}+\dfrac{15}{38}$，
$=\dfrac{19}{38}=\dfrac{1}{2}$；
即取出的产品中次品不超过$1$件的概率是$\dfrac{1}{2}$；
$(2)\because f(n)=P\left(X=3\right)=\dfrac{{{\rm C}_n^3{\rm C}_{20-n}^7}}{{{\rm C}_{20}^{10}}}$，
$\because f\left(n-1\right)=\dfrac{{\rm C}_{n-1}^{3}{\rm C}_{21-n}^{7}}{{\rm {C}}_{20}^{10}}$；
若$\dfrac{f(n)}{f\left(n-1\right)}=\dfrac{{\rm C}_{n}^{3}{\rm C}_{20-n}^{7}}{{\rm C}_{n-1}^{3}{\rm C}_{21-n}^{7}}=\dfrac{n\left(14-n\right)}{(n-3)\left(21-n\right)} \gt 1$，
则$n\left(14-n\right) \gt \left(n-3\right)\left(21-n\right)$，
解得$n \lt 6.3$；
故当$n \lt 6.3$时，$f\left(n\right) \gt f\left(n-1\right)$；当$n \gt 6.3$时，$f\left(n\right) \lt f\left(n-1\right)$；
故当$n=6$时，$f\left(n\right)$取得最大值.
即当$n=6$时，$f\left(n\right)$取得最大值.