$2022$年$2$月$6$日，中国女足在两球落后的情况下，以$3$比$2$逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战$6:5$惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.
$(1)$扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有$\dfrac{1}{2}$的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数$X$的分布列和期望；
$(2)$好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁$4$名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外$3$人中的$1$人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外$3$人中的$1$人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第$n$次传球之前球在甲脚下的概率为$p_{n}$，易知$p_{1}=1,p_{2}=0$.
①试证明$\left\{{{p_n}-\dfrac{1}{4}}\right\}$为等比数列；
②设第$n$次传球之前球在乙脚下的概率为$q_{n}$，比较$p_{10}$与$q_{10}$的大小.

$(1)$答案见解析；

$(2)$①证明见解析；

②$p_{10} \\lt q_{10}$

$(1)$由题意可得，门将每次可以扑出点球的概率$p=\dfrac{1}{3}{×}\dfrac{1}{3}{×}3{×}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$，
$X\sim B\left(3,\dfrac{1}{6}\right)$，
门将在前三次扑出点球的个数$X$可能的取值为$0$，$1$，$2$，$3$，
$P\left(X=k\right)={\rm C}_{3}^{k}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{k}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3-k}$，$k=0$，$1$，$2$，$3$，
故$X$的分布列为：

故$E\left(X\right)=3{×}\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$.
$(2)$证明：①第$n$次传球之前在甲脚下的概率为$p_{n}$，
则当$n\geqslant 2$时，第$n-1$次传球之前球在甲脚下的概率为$p_{n-1}$，第$n-1$次传球之前球不在甲脚下的概率为$1-p_{n-1}$，
故${p}_{n}={p}_{n-1}{\cdot }0+\left(1-{p}_{n-1}\right){\cdot }\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}{p}_{n-1}+\dfrac{1}{3}$，即${p}_{n}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}\left({p}_{n-1}-\dfrac{1}{4}\right)$，
又$\because {p}_{1}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$，
$\therefore \left\{{{p_n}-\dfrac{1}{4}}\right\}$是以$\dfrac{3}{4}$为首项，公比为$-\dfrac{1}{3}$的等比数列，
②由①可知，${p}_{n}=\dfrac{3}{4}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{4}$，
${p}_{10}=\dfrac{3}{4}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{9}+\dfrac{1}{4}{\lt }\dfrac{1}{4},{q}_{10}=\dfrac{1}{3}\left(1-{p}_{10}\right){\gt }\dfrac{1}{4}$，
故$p_{10} \lt q_{10}$.