如图，四棱台$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的底面为菱形，$AB=4$，$DD_{1}=3,\angle BAD=60^{\circ}$，点$E$为$BC$中点，$D_{1}E\bot BC,D_1E=\sqrt{21}$.
$(1)$证明：$DD_{1}\bot $平面$ABCD$；
$(2)$若$A_{1}D_{1}=2$，求平面$A_{1}C_{1}E$与平面$ABCD$夹角的余弦值.

$(1)$ 证明见解析
$(2)$ $\\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}$

$(1)$证明：连接$DE$，在菱形$ABCD$中，$\angle BCD=60^{\circ}$，所以$\triangle BCD$为等边三角形.
又因为$E$为$BC$中点，所以$DE\bot BC$，
又因为$D_{1}E\bot BC,DE\cap D_{1}E=E$，所以$BC\bot $平面$D_{1}DE$，
所以$BC\bot D_{1}D$，
又因为$D_1E=\sqrt{21}$，而$D_{1}D=3,DE=2\sqrt{3}$，所以$D_1D^2+DE^2=21=D_1E^2$，所以$D_{1}D\bot DE$，
又因为$BC\cap DE=E$，所以$D_{1}D\bot $平面$ABCD$.
$(2)$如图，以$D$为坐标原点，$DA$，$DE$，$DD_{1}$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系，
则$E\left(0,2\sqrt{3},0\right),A_{1}\left(2,0,3\right),C_1\left(-1,\sqrt{3},3\right)$，，
所以$\overrightarrow{A_1C_1}=\left(-3,\sqrt{3},0\right),\overrightarrow{A_1E}=\left(-2,2\sqrt{3},-3\right)$，
设平面$A_{1}C_{1}E$的法向量$\boldsymbol{n_1}=\left(x,y,z\right)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{{n}_{1}}\cdot \overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-3x+\sqrt{3}y=0}\\{\boldsymbol{{n}_{2}}\cdot \overrightarrow{{A}_{1}E}=-2x+2\sqrt{3}y-3z=0}\end{array}\right.$，
令$x=3$，则$y=3\sqrt{3},z=-3$，所以$\boldsymbol{{n}_{1}}=\left(3,3\sqrt{3},4\right)$，
由题得，平面$ABCD$的一个法向量$\boldsymbol{n_2}=\left(0,0,1\right)$，
设平面$A_{1}C_{1}E$与平面$ABCD$所成角为$\theta $，
所以$\cos\theta =\dfrac{|\boldsymbol{n_1}\cdot \boldsymbol{n_2}|}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}=\dfrac{4}{\sqrt{52}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$.