在陈塘关，哪吒发现高中学生的仙术成绩（类似数学成绩设为$x$）、法定操控成绩（类似物理成绩设为$y$）、灵符绘制成绩（类似化学成绩设为$z$）两两成正相关关系$.$哪吒随机抽取了$55$名仙童，仙术成绩$x$和法定操控成绩$y$的样本线性相关系数为$\dfrac{5}{6}$，法定操控成绩$y$和灵符绘制成绩$z$的样本线性相关系数为$\dfrac{3}{4}$，求仙术成绩$x$和灵符绘制成绩$z$的样本线性相关系数的最大值为                 $.$

设$\overrightarrow{X}=({{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}})$，$\overrightarrow{Y}=({{y}_{1}},{{y}_{2}},\cdots ,{{y}_{n}})$，$\overrightarrow{\text{Z}}=({{z}_{1}},{{z}_{2}},\cdots ,{{z}_{n}})$，

记$\overrightarrow{{{X}'}}=({{x}_{1}}-\overline{x},{{x}_{2}}-\overline{x},\cdots ,{{x}_{n}}-\overline{x})$，$\overrightarrow{{{Y}'}}=({{y}_{1}}-\overline{y},{{y}_{2}}-\overline{y},\cdots ,{{y}_{n}}-\overline{y})$，$\overrightarrow{{{Z }{'}}}=({{z}_{1}}-\bar{z},{{z}_{2}}-\bar{z},\cdots ,{{z}_{n}}-\bar{z})$，

由相关系数公式$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\overline{x})({{y}_{i}}-\overline{y})}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{i}}-\overline{y})}^{2}}}}}$知$r=\cos \left\langle \overrightarrow{{{X}'}},\overrightarrow{{{Y}'}} \right\rangle $，

设$\overrightarrow{{{X}'}}$与$\overrightarrow{{{Y}'}}$夹角为$\alpha $，$\overrightarrow{{{Y}'}}$与$\overrightarrow{{{Z}'}}$夹角为$\beta $，

$\because $ 仙术成绩$x$和法定操控成绩$y$的样本线性相关系数为$\dfrac{5}{6}$，法定操控成绩$y$和灵符绘制成绩$z$的样本线性相关系数为$\dfrac{3}{4}$，

$\therefore \cos \alpha =\dfrac{5}{6}$，$\cos \beta =\dfrac{3}{4}$，由这两个夹角都是锐角，

$\therefore \alpha \gt \beta $，

$\therefore \overrightarrow{{{X}'}}$与$\overrightarrow{{{Z}'}}$夹角为$\alpha -\beta $或$\alpha+\beta$，

则$\overrightarrow{{{X}'}}$与$\overrightarrow{{{Z}'}}$夹角余弦的最大值为$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\dfrac{5}{6}\times \dfrac{3}{4}+\sqrt{1-\dfrac{25}{36}}\times \sqrt{1-\dfrac{9}{16}}=\dfrac{15+\sqrt{77}}{24}$．

故答案为：$\dfrac{15+\sqrt{77}}{24}$